20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學322拋物線的簡單性質(zhì)-wenkub
2022-11-27 23:22:05 本頁面
【正文】 ∴ p = 2 . 探究一 探究二 探究三 探究四 ( 方法 2 ) 運用弦長公式 . 同方法 1 ,得方程 x2 3 p x +p24=0 , xA+xB=3p , xAxB=p24.又直線 AB 的斜率k = 1 ,由弦長公式知 , | AB | = 1 + k2 ( 2 ) 頂點在原點 ,對稱軸為 y 軸時的拋物線方程可設(shè)為 x2= ay ( a ≠ 0 ), 當a0 時 ,拋物線開口向上 ,當 a 0 時 ,拋物線開口向下 . 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例題 1 】 已知 拋物線的頂點在坐標原點 , 對稱軸為 x 軸 , 且與圓x2+y2=4 相交的公共弦長等于 2 3 , 求這條拋物線的方程 . 思路分析 :因為圓和拋物線都關(guān)于 x 軸對稱 ,所以它們的交點也關(guān)于 x軸對稱 ,即公共弦被 x 軸垂直平分 ,于是由弦長等于 2 3 ,可知交點縱坐標為177。 3 . 探究一 探究二 探究三 探究四 解 :設(shè)所求拋物線方程為 y2=2px 或 y2= 2px , p0. 設(shè)交點 A ( x1, y1), B ( x2, y2)( y10 , y20 ), 則 |y1| + |y2| = 2 3 ,即 y1 y2=2 3 , 由對稱性 ,知 y2= y1,代入上式 ,得 y1= 3 . 把 y1= 3 代入 x2+y2=4 ,得 x = 177。 ( xA+ xB)2 4 xAxB = 2 s in245 176。 當 1 k 12,且 k ≠ 0 時 ,直線 l 與拋物線有兩個公共點 。 1 16. 點評 解決直線與拋物線位置關(guān)系問題 ,常常需要根據(jù)題目條件選擇恰當?shù)姆椒?,以便解題過程簡便易行 . 探究一 探究二 探究三 探究四 易錯辨析 易錯點 因忽視斜率不存在及二次項系數(shù)而漏解 【典型例題 5 】 求過點 P ( 0 , 1 ) 且與拋物線 y2=2x 只有一個公共點的直線方程 . 錯解 :設(shè)所求直線方程為 y = k x + 1 . 由方程組 y = kx + 1 ,y2= 2x , 得 k2x2+2 ( k 1 ) x + 1 = 0 . 若直線與拋物線只有一個公共點 , 則 Δ =4 ( k 1 )2 4k2=0 , ∴ k=12,即所求直線的方程為 y=12x+1. 探究一 探究二 探究三 探究四 錯因分析 :錯誤之一是遺漏直線斜 率不存在的情況 ,僅考慮斜率存在的直線 .錯誤之二是方程組消元后的方程 k2x2+2 ( k 1 ) x + 1 = 0 被認定為二次方程 ,因而由直線與拋物線只有一個公共點 ,得出 Δ = 0 .事實上方程的二次項系數(shù)為含字母的 k2,方程不一定是二次方程 .當 k=0 時 ,方程是一次方程 2 x + 1 = 0 ,此時方程組只有一解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 正解 : ( 1 ) 若直線斜率不存在 ,則過點 P ( 0 , 1 ) 的直線方程為 x = 0 . 由 x = 0 ,y2= 2x ,得 x = 0 ,y = 0 . ∴ 直線 x = 0 與拋物線只有一個公共點 . ( 2 ) 若直線斜率存在 ,設(shè)為 k ,則過點 P 的直線方程為 y = k x + 1 . 由方程組 y = kx + 1 ,y2= 2x ,得 k2x2+2 ( k 1 ) x + 1 = 0 . 當 k = 0 時 ,解得 x =12,y = 1 ,即直線 y = 1 與拋物線只有一個公共點 。 8 2 x 解析 :設(shè)拋物線方程為 y2= ax ( a ≠ 0 ), 則焦點為 F a4, 0 ,則通徑的長d=2 a a4= | a | ,則 4=12 | a | a4 , ∴ a= 177。 的 直線與拋物線交于A , B 兩點 , 設(shè) AB 的中點為 M , 則 | F M | = . 1 2 3 4 5 解析 : ( 方法 1 ) 在拋物線中 ,焦點 F ( 1 , 0 ), 直線的斜率為 k= 3 , ∴ 直線 AB 的方程為 y= 3 ( x 1 ), ∴ y = 3 ( x 1 ),y2= 4x ,消去 y 得 3x2 1 0
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