20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)322《拋物線的簡單性質(zhì)》-文庫吧
2025-10-13 23:22 本頁面
【正文】 1= 3 代入 x2+y2=4 ,得 x = 177。 1 . ∴ 點(diǎn) A ( 1 , 3 ) 在拋物線 y2=2px 上 ,點(diǎn) A39。 ( 1 , 3 ) 在拋物線 y2= 2px 上 . ∴ 3 = 2 p 或 3= 2 p ( 1 ) . ∴ p=32. ∴ 所求拋物線方程為 y2=3x 或 y2= 3 x . 探究一 探究二 探究三 探究四 反思 因?yàn)閽佄锞€是軸對稱圖形 ,所以與對稱軸垂直的弦一定被對稱軸平分 . 探究一 探究二 探究三 探究四 拋物線的焦半徑和焦點(diǎn)弦 1 .焦半徑 :拋物線 y2=2px ( p0 ) 上任一點(diǎn) M ( x0, y0) 到焦點(diǎn) F p2, 0 的距離| M F| 叫作焦半徑 ,且 | M F| = x0+p2( 只與橫坐標(biāo) x0有 關(guān) ) . 2 .焦點(diǎn)弦 :若直線過 y2=2px ( p0 ) 的焦點(diǎn)與拋物線交于兩點(diǎn)A ( x1, y1), B ( x2, y2), F 為拋物線的焦點(diǎn) ,則 | A F| = x1+p2, | B F | = x2+p2,所以| AB | = | A F| + | B F | = x1+x2+p ,這是過焦點(diǎn)的弦的弦長公式 . 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例題 2 】 過拋物線 y2= 2 p x ( p0 ) 的焦點(diǎn) F 作傾角為 45 176。 的直線交拋物線于 A , B 兩點(diǎn) , 若線段 AB 的長為 8 , 則 p= . 解析 : ( 方法 1 ) 運(yùn)用焦半徑公式 ( 實(shí)質(zhì)上是拋物線的定義 ) . 由 y2=2px 知 F p2, 0 ,直線 AB 的方程為 y =x p2. 由 y2= 2p x ,y = x p2,得 x2 3 p x +p24=0 , ∴ xA+xB=3p. 由焦半徑公式知 , | AB | = | A F| + | B F | = xA+p2 + xB+p2 =xA+xB+ p = 4 p = 8 . ∴ p = 2 . 探究一 探究二 探究三 探究四 ( 方法 2 ) 運(yùn)用弦長公式 . 同方法 1 ,得方程 x2 3 p x +p24=0 , xA+xB=3p , xAxB=p24.又直線 AB 的斜率k = 1 ,由弦長公式知 , | AB | = 1 + k2 ( xA+ xB)2 4 xAxB = 2 ( 3p )2 p2 = 2 8 p2= 4 p = 8 , 得 p = 2 . ( 方法 3 ) 利用公式 | AB | =2p?? ?? ??2θ有 p=12| AB | s in2θ =12 8 s in245 176。 = 2 . 答案 : 2 探究一 探究二 探究三 探究四 直線與拋物線的位置關(guān)系 1 .直線與拋物線的位置關(guān)系 : ( 1 ) 相交 :有兩個交點(diǎn) ,兩交點(diǎn)的連線段叫作弦 . ( 2 ) 相切 :有一個交點(diǎn) . ( 3 ) 相離 :無公共點(diǎn) . 注 :平行于焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸或與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸重合的直線與標(biāo)準(zhǔn)拋物線也只有一個交點(diǎn) . 2 .弦長公式 若直線 y = k x + b 與拋物線 y2=2px 有兩個交點(diǎn) A ( x1, y1), B ( x2, y2), 則 | AB | = 1 + k2|x1 x2| = 1 + k2 ( x1+ x2)2 4 x1x2 或 | AB | = 1 +1k2|y1 y2| = 1 +1k2 ( y1+ y2)2 4 y1y2. 另外 ,要注意直線方程斜率不存在時的情況 . 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例題 3 】 已知拋物線的方程為 y2=4x , 直線 l 過定點(diǎn) P ( 2 , 1 ), 斜率為 k. 當(dāng) k 為何值時 , 直線 l 與拋物線 : 只有一個公共點(diǎn) 。 有兩個公共點(diǎn) 。 沒有公共點(diǎn) . 思路分析 :用解析法解決這個問題 ,只要討論直線 l 的方程與拋物線的方程組成的方程組的解的情況 ,由方程組解的情況判斷直線 l 與拋物
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