20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學331《雙曲線及其標準方程》-文庫吧
2025-10-13 23:22 本頁面
【正文】 2 λ b2) 的形式 ,從而解決問題 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 雙曲線的定義及應用 恰當?shù)乩秒p曲線的定義 ,可以解決三角形的周長、軌跡等問題 ,這樣可以免去一些復雜的計算 ,提高同學們的解題能力 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例 題 1 】 已知雙曲線x216?y212=1 的左、右焦點分別為 F1, F2, 過點F1作直線 l 交雙曲線的左支于 A , B 兩點 , 且 | AB | = 8 , 則 △ AB F2的周長等于 . 解析 :由雙曲線的定義有 | A F2| |A F1| = 8 , | B F2| | B F1| = 8 . 兩式相加得 | A F2| + | B F2| = | A F1| + |B F1| + 1 6 = | AB | + 1 6 = 2 4 , 則 △ ABF2的周長為 | AB | + | A F2|+ | B F2| = 2 4 + 8 = 3 2 . 答案 : 32 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例題 2 】 若一個動點 P ( x , y ) 到兩個定點 F1( 1 , 0 ), F2( 1 , 0 ) 的距離的差的絕對值為定值 a ( a ≥ 0 ), 試討論點 P 的軌跡方程 . 思路分析 :從題設條件看 , P 點的軌跡似乎是雙曲線 ,但注意到雙曲線定義中的條件 ,所以要確定點 P 的軌跡方程 ,應依據(jù)條件 ,對 a 進行分類討論 . 解 : |F1F2| = 2 . ( 1 ) 當 a= 2 時 ,軌跡是兩條射線 y = 0 ( x ≥ 1 ) 與 y = 0 ( x ≤ 1 )。 ( 2 ) 當 a= 0 時 ,軌跡是線段 F1F2的垂直平分線 ,即 y 軸 ,方程為 x = 0 。 ( 3 ) 當 0 a 2 時 ,軌跡是以 F1, F2為焦點的雙曲線 , c= 1 , b2=1 a24, 所以方程為x2a24?y21 a24=1 。 ( 4 ) 當 a 2 時 ,軌跡不存在 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 反思 利用雙曲線的定義確定點的軌跡方程時 ,要注意定義中的條件 0 2 a| F 1 F 2 |. 若條件中不能確定 |F 1 F 2 |與 2a 的大小 ,需分類討論 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 求雙曲線的標準方程 1 .利用待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程時 ,必須依焦點所處的位置選擇標準方程的形式 . ( 1 ) 如果已知雙曲線的方程為標準形式 ,但不知焦點所處的位置 ,也可把雙曲線方程設為 mx2+ n y2=1 ( m n 0 ), 然后由條件求 m , n. ( 2 ) 在利用上述方法求雙曲線的標準方程時 ,根據(jù)題設條件得到關于 a , b或 m , n 的二元方程組 ,解方程組求出 a , b 或 m , n ,最后得出方程即可 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 2 .雙曲線標準方程的求解步驟 : 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 3 .求過兩點的橢圓或雙曲線的標準方程 .統(tǒng)一設為 mx 2 + n y 2 = 1 . 若依條件得 m n 0 ,則為焦點在 y 軸上的橢圓 。若 n m 0 ,則為焦點在 x軸上的橢圓 。若 m 0 , n 0 ,則為焦點在 x 軸上的雙曲線 。若 m 0 , n 0 ,則為焦點在 y 軸上的雙曲線 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例題 3 】 已知雙曲線過 P1 2 ,32 5 和 P 2 43 7 , 4 兩點 , 求雙曲線的標準方程 . 思路分析 :解法一 :因無法判定雙曲線的焦點所在的位置 ,可分別設為x2a2?y2b2=1 ( a0 , b0 ) 和y2a2?x2b2=1 ( a0 , b0 ) 兩種情況 ,分別求解 .解法二 :可設方程為 mx2+ n y2=1 ( m n 0 ) 求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 解法一 :當雙曲線的焦點在 x 軸上時 ,設雙曲線方程為x2a2?y2b2=1 ( a 0 , b 0 ) . ∵ 點 P1, P2在雙曲線上 ,
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