20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學(xué)211《橢圓及其標準方程》1-文庫吧
2024-10-27 23:27 本頁面
【正文】 n0”是“ 方程 mx2＋ ny2＝ 1的曲線是橢圓 ” 的 ( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案 ] B [解析 ] 本題考查了充分必要條件及橢圓的標準方程的形式，由 mn0，若 m＝ n0，則方程 mx2＋ ny2＝ 1表示圓，故mn0?/方程 mx2＋ ny2＝ 1表示橢圓，若 mx2＋ ny2＝ 1表示橢圓?mn0，故 mn0是方程表示橢圓的必要不充分條件． 4 ． 橢圓x225＋y216＝ 1 上有一點 P 到左焦點的距離是 4 ，則點P 到右焦點的距離 是 ( ) A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 6 [ 答案 ] D [ 解析 ] 設(shè)橢圓的左、右焦點分別為 F1 、 F 2 ，由橢圓的定義得 | PF 1 |＋ | PF 2 |＝ 2 a ＝ 10 ， ∴ | PF 2 |＝ 10 － | PF 1 |＝ 10 － 4 ＝ 6. 5 ． 橢圓 x2m ＋y 24 ＝ 1 的焦距為 2 ，則 m 的值為 _ _ _ _ _ _ _ _ ． [ 答案 ] 5 或 3 [ 解析 ] 若焦點在 x 軸上，則 m － 4 ＝ 1 ， ∴ m ＝ 5 ； 若焦點在 y 軸上，則 4 － m ＝ 1 ， ∴ m ＝ 3. 6 ． 求適合下列條件的橢圓的標準方程： ( 1 ) 兩個焦點的坐標分別是 ( － 4 , 0 ) 、 ( 4 , 0 ) ， 橢圓上任意一點P 到兩焦點的距離的和等于 10 ； ( 2 ) 兩個焦點的坐標分別為 (0 ，－ 2) 、 ( 0 , 2 ) ，并且橢圓經(jīng)過點 ( －32，52) ． [ 答案 ] ( 1 ) x225 ＋y 29 ＝ 1 ( 2 )y 210 ＋x 26 ＝ 1 [分析 ] 根據(jù)題意 ， 先判斷橢圓的焦點位置 ， 再設(shè)出橢圓的標準方程 ， 從而確定 a、 b的值 ． [ 解析 ] ( 1 ) ∵ 橢圓的焦點在 x 軸上， ∴ 設(shè)它的標準方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) ， ∵ c ＝ 4 , 2 a ＝ 10 ， ∴ b2＝ a2－ c2＝ 9 ， 所以所求的橢圓方程為x225＋y29＝ 1. ( 2 ) ∵ 橢圓的焦點在 y 軸上， ∴ 設(shè)所求橢圓的標準方程為y2a2 ＋x2b2 ＝ 1( a b 0 ) ． 由橢圓定義知 2 a ＝ ? －32?2＋ ?52＋ 2 ?2＋ ? －32?2＋ ?52－ 2 ?2＝ 2 10 . 即 a ＝ 10 ， 又 c ＝ 2 ， ∴ b2＝ a2－ c2＝ 6 ， 所以所求橢圓的方程為y210＋x26＝ 1. [ 點評 ] 根據(jù)已知條件，判定焦點的位置，設(shè)出橢圓的標準方程是解決此題的關(guān)鍵 ． 課堂典例探究 待定系數(shù)法求橢圓的標準方程 求適合下列 條件的橢圓的標準方程： ( 1 ) 兩個焦點坐標分別是 ( － 3 ,0 ) 、 ( 3 , 0 ) ，橢圓經(jīng)過點 ( 5 , 0 ) ； ( 2 ) 經(jīng)過點 A ( 3 ，－ 2) 和點 B ( － 2 3 ， 1) ． [ 解析 ] ( 1 ) ∵ 橢圓的焦點在 x 軸上， ∴ 設(shè)它的標準方程為x2a2＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) ． ∵ 2 a ＝ ? 5 ＋ 3 ?2＋ 0 ＋ ? 5 － 3 ?2＋ 0 ＝ 1 0 , 2 c ＝ 6. ∴ a ＝ 5 ， c ＝ 3 ， ∴ b2＝ a2－ c2＝ 52－ 32＝ 1 6 . ∴ 所求橢圓的方程為：x225＋y216＝ 1. ( 2 ) 解法一： ① 當(dāng)焦點在 x 軸上時，設(shè)橢圓的標準方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) ． 依題意有??????? ? 3 ?2a2 ＋? － 2 ?2b2 ＝ 1? － 2 3 ?2a2 ＋1b2 ＝ 1，解得????? a2＝ 15b2＝ 5.所以所求橢圓的方程為x21 5＋y25＝ 1. ② 當(dāng)焦點在 y 軸上時，設(shè)橢圓的標準方程為y2a2 ＋x2b2 ＝1( a b 0 ) ． 依題意有??????? ? － 2 ?2a2 ＋? 3 ?2b2 ＝ 11a
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