20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學(xué)211橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程1-文庫(kù)吧在線文庫(kù)
【正文】 為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) ， ∵ c ＝ 4 , 2 a ＝ 10 ， ∴ b2＝ a2－ c2＝ 9 ， 所以所求的橢圓方程為x225＋y29＝ 1. ( 2 ) ∵ 橢圓的焦點(diǎn)在 y 軸上， ∴ 設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2 ＋x2b2 ＝ 1( a b 0 ) ． 由橢圓定義知 2 a ＝ ? －32?2＋ ?52＋ 2 ?2＋ ? －32?2＋ ?52－ 2 ?2＝ 2 10 . 即 a ＝ 10 ， 又 c ＝ 2 ， ∴ b2＝ a2－ c2＝ 6 ， 所以所求橢圓的方程為y210＋x26＝ 1. [ 點(diǎn)評(píng) ] 根據(jù)已知條件，判定焦點(diǎn)的位置，設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解決此題的關(guān)鍵 ． 課堂典例探究 待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 求適合下列 條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： ( 1 ) 兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是 ( － 3 ,0 ) 、 ( 3 , 0 ) ，橢圓經(jīng)過點(diǎn) ( 5 , 0 ) ； ( 2 ) 經(jīng)過點(diǎn) A ( 3 ，－ 2) 和點(diǎn) B ( － 2 3 ， 1) ． [ 解析 ] ( 1 ) ∵ 橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上， ∴ 設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) ． ∵ 2 a ＝ ? 5 ＋ 3 ?2＋ 0 ＋ ? 5 － 3 ?2＋ 0 ＝ 1 0 , 2 c ＝ 6. ∴ a ＝ 5 ， c ＝ 3 ， ∴ b2＝ a2－ c2＝ 52－ 32＝ 1 6 . ∴ 所求橢圓的方程為：x225＋y216＝ 1. ( 2 ) 解法一： ① 當(dāng)焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) ． 依題意有??????? ? 3 ?2a2 ＋? － 2 ?2b2 ＝ 1? － 2 3 ?2a2 ＋1b2 ＝ 1，解得????? a2＝ 15b2＝ 5.所以所求橢圓的方程為x21 5＋y25＝ 1. ② 當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2 ＋x2b2 ＝1( a b 0 ) ． 依題意有??????? ? － 2 ?2a2 ＋? 3 ?2b2 ＝ 11a2 ＋? － 2 3 ?2b2 ＝ 1， 解得????? a2＝ 5b2＝ 15. 因?yàn)?a b ， 所以方程無解 ． 故所求橢圓的方程為x215＋y25＝ 1. 解法二：設(shè)所求橢圓的方程為 mx2＋ ny2＝ 1( m 0 ， n 0 ，且m ≠ n ) ，依題意有????? 3 m ＋ 4 n ＝ 112 m ＋ n ＝ 1，解得????? m ＝115n ＝15. 所以所求橢圓的方程為x215＋y25＝ 1. [ 方法規(guī)律總結(jié) ] 利用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再依據(jù)條件確定 a b2的值，可歸納為“ 先定型，再定量 ” ，其一般步驟是： ① 定類型：根據(jù)條件判斷焦點(diǎn)在 x 軸上還是在 y 軸上，還是兩種情況都有可能，并設(shè)橢圓方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) 或y2a2 ＋x2b2 ＝ 1( a b 0 ) ；也可設(shè)橢圓方程為 mx2＋ ny2＝ 1( m 0 ， n 0 ，m ≠ n ) ． ② 確定未知量：根據(jù)已知條件列出關(guān)于 a 、 b 、 c 的方程組，解方程組，可得 a 、 b 的值，然后代入所設(shè)方程即可 ． 根據(jù)下列條件，寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ． ( 1 ) 經(jīng)過兩點(diǎn) A ( 0 , 2 ) ， B????????12， 3 的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 _ _ _ _ _ _ _ _ ； ( 2 ) 經(jīng)過點(diǎn) (2 ，－ 3) 且與橢圓 9 x2＋ 4 y2＝ 36 有共同的焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 _ _ _ _ _ _ _ _ ． [ 答案 ] ( 1 ) x 2 ＋ y24 ＝ 1 ( 2 )x 210 ＋y 215 ＝ 1 [ 解析 ]
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