20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學(xué)211橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程1(編輯修改稿)
2024-12-22 23:27 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 2 ＋? － 2 3 ?2b2 ＝ 1， 解得????? a2＝ 5b2＝ 15. 因為 a b ， 所以方程無解 ． 故所求橢圓的方程為x215＋y25＝ 1. 解法二：設(shè)所求橢圓的方程為 mx2＋ ny2＝ 1( m 0 ， n 0 ，且m ≠ n ) ，依題意有????? 3 m ＋ 4 n ＝ 112 m ＋ n ＝ 1，解得????? m ＝115n ＝15. 所以所求橢圓的方程為x215＋y25＝ 1. [ 方法規(guī)律總結(jié) ] 利用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再依據(jù)條件確定 a b2的值，可歸納為“ 先定型，再定量 ” ，其一般步驟是： ① 定類型：根據(jù)條件判斷焦點在 x 軸上還是在 y 軸上，還是兩種情況都有可能，并設(shè)橢圓方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) 或y2a2 ＋x2b2 ＝ 1( a b 0 ) ；也可設(shè)橢圓方程為 mx2＋ ny2＝ 1( m 0 ， n 0 ，m ≠ n ) ． ② 確定未知量：根據(jù)已知條件列出關(guān)于 a 、 b 、 c 的方程組，解方程組，可得 a 、 b 的值，然后代入所設(shè)方程即可 ． 根據(jù)下列條件，寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ． ( 1 ) 經(jīng)過兩點 A ( 0 , 2 ) ， B????????12， 3 的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 _ _ _ _ _ _ _ _ ； ( 2 ) 經(jīng)過點 (2 ，－ 3) 且與橢圓 9 x2＋ 4 y2＝ 36 有共同的焦點的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 _ _ _ _ _ _ _ _ ． [ 答案 ] ( 1 ) x 2 ＋ y24 ＝ 1 ( 2 )x 210 ＋y 215 ＝ 1 [ 解析 ] ( 1 ) 設(shè)所求橢圓的方程為x2m＋y2n＝ 1( m 0 ， n 0 ) ， ∵ 橢圓過 A ( 0 , 2 ) ， B????????12， 3 . ∴????? 0m＋4n＝ 114 m＋3n＝ 1，解得????? m ＝ 1n ＝ 4， 即所求橢圓方程為 x2＋y24＝ 1. ( 2 ) ∵ 橢圓 9 x2＋ 4 y2＝ 36 的焦點為 (0 ， 177。 5 ) ，則可設(shè)所求橢圓方程為x2m＋y2m ＋ 5＝ 1( m 0 ) ， 又橢圓經(jīng)過點 (2 ，－ 3) ，則有4m＋9m ＋ 5＝ 1 ， 解得 m ＝ 10 或 m ＝－ 2( 舍去 ) ， 即所求橢圓的方程為x210＋y215＝ 1. 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 已知方程x 2k － 4－y 2k － 10＝ 1 表示焦點在 x 軸上的橢圓，則實數(shù) k 的取值范圍為 _ _ _ _ _ _ _ _ ． [ 分析 ] 先將方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，再利用焦點在 x 軸上的橢圓方程的充要條件求參數(shù) ． [ 解析 ] 原方程可化為x2k － 4＋y210 － k＝ 1 ，因為其表示焦點在x 軸上的橢圓， ∴????? k － 4 010 － k 0k － 4 1 0 － k，解得 7 k 1 0 . [ 方法規(guī)律總結(jié) ] 1. 利用橢圓方程解題時，一般首先要化成標(biāo)準(zhǔn)形式 ． 2.x2m＋y2n＝ 1 表示橢圓的條件是????? m 0 ，n 0 ，m ≠ n ；表示焦點在 x 軸上的橢圓的條件是????? m 0 ，n 0 ，m n ；表示焦點在 y 軸上的橢圓的條件是????? m 0 ，n 0 ，n m . 若方程x2m－y2m2－ 2＝ 1 表示焦點在 y 軸上的橢圓，那么實數(shù)m 的取值范圍是 ( ) A ． m 0 B ． 0 m 1 C ． － 2 m 1 D ． m 1 或 m ≠ 2 [ 答案 ] B 橢圓的焦點三角形 已知橢圓x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝ 1( a b 0 ) 上一點 P ， F 1 、 F 2 為橢圓的焦點，若 ∠ F 1 PF 2 ＝ θ ，求 △ F 1 PF 2 的面積 ． [ 解析 ] 由橢圓的定義，有 | P
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