20xx北師大版選修1-1高中數學31變化的快慢與變化率1(編輯修改稿)
2024-12-22 23:23 本頁面
【文章內容簡介】 率，并計算當 x 0 ＝ 1 ， Δ x ＝12時平均變化率的值 ． [ 分析 ] 直接利用概念求平均變化率，先求出表達式，再直接代入數據就可以得出相應的平均變化率 ． [ 解析 ] 當自變量從 x 0 變化到 x 0 ＋ Δ x 時，函數的平均變化率為f ? x 0 ＋ Δ x ?－ f ? x 0 ?Δ x＝? x 0 ＋ Δ x ?3－ x30Δ x＝ 3 x20 ＋ 3 x 0 Δ x ＋ (Δ x )2. 當 x 0 ＝ 1 ， Δ x ＝12時， 平均變化率的值為 3 12＋ 3 1 12＋????????122＝194. [ 方法規(guī)律總結 ] 1. 求函數 y ＝ f ( x ) 從 x0到 x 的平均變化率的步驟為： ( 1 ) 求自變量的增量 Δ x ＝ x － x0. ( 2 ) 求函數的增量 Δ y ＝ y － y0＝ f ( x ) － f ( x0) ＝ f ( x ＋ Δ x ) － f ( x0) ． ( 3 ) 求平均變化率Δ yΔ x＝f ? x0＋ Δx ? － f ? x0?Δ x. 2 ． 要注意 Δ x ， Δ y 的值可正，可負，但 Δ x ≠ 0 ， Δ y 可為零，若函數 f ( x ) 為常值函數，則 Δ y ＝ 0. 函數 f ( x ) ＝ 1 x 在區(qū)間 [ 1 , 1 ＋ Δx ] 內的平均變化率為[ 答案 ] － 1? 1 ＋ 1 ＋ Δx ? 1 ＋ Δx [ 解析 ] ∵ Δy ＝ f (1 ＋ Δx ) － f ( 1 ) ＝11 ＋ Δ x－ 1 ＝1 － 1 ＋ Δ x1 ＋ Δ x ＝1 － 1 － Δx? 1 ＋ 1 ＋ Δx ? 1 ＋ Δx ＝－ Δx? 1 ＋ 1 ＋ Δx ? 1 ＋ Δx， ∴ΔyΔx＝－1? 1 ＋ 1 ＋ Δx ? 1 ＋ Δx . ∴ 函數 f ( x ) 在區(qū)間 [ 1 , 1 ＋ Δx ] 內的平均變化率為－ 1? 1 ＋ 1 ＋ Δx ? 1 ＋ Δx . 瞬時變化率 求函數 y＝ f(x)＝ 3x2＋ x在點 x＝ 1處的瞬時變化率 ． [ 解析 ] Δy ＝ f (1 ＋ Δx ) － f ( 1 ) ＝ 3 ( 1 ＋ Δx )2＋ (1 ＋ Δx ) － (3 ＋ 1) ＝ 7 Δx ＋ 3( Δx )2. ∴ΔyΔx＝7 Δx ＋ 3 ? Δx ?2Δx＝ 7 ＋ 3 Δx . ∴ 當 Δx 趨于 0 時，ΔyΔx＝ 7 ＋ 3 Δx 趨于 7 ＋ 3 0 ＝ 7. ∴ 函數 y ＝ 3 x2＋ x 在點 x ＝ 1 處的瞬時變化率為 7. [ 方法規(guī)律總結 ] 求函數 y ＝ f ( x ) 在點 x ＝ x0處的瞬時變化率的步驟： ① 求 Δy
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