20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學212橢圓的簡單幾何性質(zhì)(編輯修改稿)
2024-12-22 23:27 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ＝2 23. 課堂典例探究 求橢圓 9x2＋ 16y2＝ 144的長軸長、短軸長、離心率、焦點和頂點坐標． [分析 ] 由題目可獲取以下主要信息： ① 已知橢圓的方程； ② 研究橢圓的幾何性質(zhì)．解答本題可先把方程化成標準形式然后再寫出性質(zhì)． 橢圓的幾何性質(zhì) [ 解析 ] 把已知方程化成標準方程x216＋y29＝ 1 ， 于是 a ＝ 4 ， b ＝ 3 ， c ＝ 16 － 9 ＝ 7 ， ∴ 橢圓的長軸長和短軸長分別是 2 a ＝ 8 和 2 b ＝ 6 ，離心率 e＝ca＝74， 兩個焦點坐標分別是 ( － 7 ， 0) ， ( 7 ， 0) ， 四個頂點坐標分別是 ( － 4 , 0 ) ， ( 4 , 0 ) ， (0 ，－ 3) ， ( 0 , 3 ) ． [ 方法規(guī)律總結 ] 由橢圓方程討論其幾何性質(zhì)的步驟： ( 1 ) 化橢圓 方程為標準形式，確定焦點在哪個軸上 ． ( 2 ) 由標準形式求 a 、 b 、 c ，寫出其幾何性質(zhì) ． 求橢圓 25x2＋ 16y2＝ 400的長軸長 、 短軸長 、 離心率 、 焦點坐標和頂點坐標 ． [ 答案 ] 長軸長 10 短軸長 8 離心率35 焦點 (0 ， 177。 3 ) 頂點 (0 ， 177。 5 ) ( 177。 4 ,0 ) [ 解析 ] 將方程變形為y225＋x216＝ 1 ，得 a ＝ 5 ， b ＝ 4 ，所以 c＝ 3 ，故橢圓的長軸和短軸的長分別為 2 a ＝ 1 0 , 2 b ＝ 8 ，離心率 e＝ca＝35，焦點坐標 F 1 (0 ，－ 3) ， F 2 ( 0 , 3 ) ，頂點坐標為 A 1 (0 ，－5) ， A 2 ( 0 , 5 ) ， B 1 ( － 4 ， 0) ， B 2 ( 4 , 0 ) . 利用橢圓的幾何性質(zhì)求標準方程 求適合下列條件的橢圓的標準方程 ． ( 1 ) 橢圓過點 ( 3 , 0 ) ，離心率 e ＝63； ( 2 ) 在 x 軸上的一個焦點，與短軸兩個端點的連線互相垂直，且焦距為 8. [ 分析 ] 1. 求橢圓的標準方程要先確定橢圓的焦點位置，不能確定的要分情況討論，然后設出標準方程，再用待定系數(shù)法確定 a 、 b 、 c . 2 ． ( 1 ) 中由離心率 e ＝ca，及 a2＝ b2＋ c2可知橢圓的標準方程中只有一個待定系數(shù)，再由過點 ( 3 , 0 ) 可求之 ． ( 2 ) 設短軸端點為 A ， F 為一個焦點，由條件知 △ O A F 為等腰直角三角形，于是 a 、 b 、 c 可求之 ． [ 解析 ] ( 1 ) 若焦點在 x 軸上，則 a ＝ 3 ， ∵ e ＝ca＝63， ∴ c ＝ 6 ， ∴ b2＝ a2－ c2＝ 9 － 6 ＝ 3. ∴ 橢圓的方程為x29＋y23＝ 1. 若焦點在 y 軸上，則 b ＝ 3 ， ∵ e ＝ca＝ 1 －b2a2 ＝ 1 －9a2 ＝63， 解得 a2＝ 2 7 . ∴ 橢圓的方程為y227＋x29＝ 1. 綜上可知橢圓方程為x29＋y23＝ 1 或y227＋x29＝ 1. ( 2 ) 設橢圓的方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) ． 如圖所示， △ A1FA2為等腰直角三角形， OF 為斜邊 A1A2的中線 ( 高 ) ， 且 | OF |＝ c ， | A1A2|＝ 2 b ， ∴ c ＝ b ＝ 4 ， ∴ a2＝ b2＋ c2＝ 32 ， 故所求橢圓的方程為x232＋y216＝ 1. [ 方法規(guī)律總結 ] 已知橢圓的幾何性質(zhì)，求其標準方程主要采用待定系數(shù)法，解題步驟為： ( 1 ) 確定焦點所在的位置，以確定橢圓方程 的形式； ( 2 ) 確立關于 a 、 b 、 c 的方程 ( 組 ) ，求出參數(shù) a 、 b 、 c ； ( 3 ) 寫出標準方程 ． 離心率為35，長軸長為 10 的橢圓方程為 ( ) A.x225＋y216＝ 1 B.x225＋y216＝ 1 或y225＋x216＝ 1 C.x21 0 0＋y264＝ 1 D.x21 00＋y264或y21 0 0＋x264＝ 1 [ 答案 ] B [ 解析 ] 由題意得 2 a ＝ 10 ， a ＝ 5 ，ca＝35， ∴ c ＝ 3 ， ∴ b2＝ a2－ c2＝ 25 － 9 ＝ 16 ， 當焦點在 x 軸上時，橢圓方程為x225＋y216＝ 1 ； 當焦點在 y 軸上時，橢圓方程為y225＋y216＝ 1 ，故選 B. 求橢圓的離心率 如圖所示， F 1 ， F 2 分別為橢圓的左、右焦點，橢圓上點 M 的橫坐標等于右焦點的橫坐標，其縱坐標等于短半軸長的23，求橢圓的離心率 ． [ 解析 ] 設橢圓的長半軸、短半軸、半焦距長分別為 a ， b ，c . 則焦點為 F1( － c, 0) ， F2( c, 0) ， M 點的坐標為 ( c ，23b ) ， 則 △ MF1F2為直角三角形 ． 在 Rt △ MF1F2中， | F1F2|2＋ | MF2|2＝ | MF1|2， 即 4 c2＋49b2＝ | MF1|2. 而 | MF1
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