20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學(xué)411導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(編輯修改稿)
2024-12-23 08:43 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 。 ( x ) 0( 或 f39。 ( x ) 0) 是不夠的 ,還有可能 f39。 ( x ) = 0 也能使得 f ( x ) 在這個區(qū)間上單調(diào) ,因而對于能否取得等號的問題需要單獨驗證 . 2 .解決本題時 ,應(yīng)注意一個非常重要的轉(zhuǎn)化 ,即 m ≥ f ( x ) 恒成立 ? m ≥ f ( x ) m a x , m ≤ f ( x ) 恒成立 ? m ≤ f ( x ) min . ZHONGNAN TANJIU 重難探究 首 頁 XINZHI DAOXUE 新知導(dǎo)學(xué) DANGTANG JIANCE 當(dāng)堂檢測 探究一 探究二 探究三 探究四 ?? 變式訓(xùn)練 3 ?? 設(shè) f ( x ) = a x3+x 恰有三個單調(diào)區(qū)間 , 試確定 a 的取值范圍 , 并求出單調(diào)區(qū)間 . 解 : f ( x ) 的定義域為 R , f39。 ( x ) = 3 ax2+ 1 . 若 a 0, 則 f39。 ( x ) 0, 即在 ( ∞ , + ∞ ) 上 f ( x ) 只有一個單調(diào)區(qū)間 ,與已知矛盾 。 若 a= 0, 則 f ( x ) =x ,此時 , f ( x ) 也只有一個單調(diào)區(qū)間 ,與已知矛盾 。 若 a 0, 則 f39。 ( x ) = 3 a ?? +1 3 ?? ?? 1 3 ?? . 綜上可知 ,當(dāng) a 0 時 , f ( x ) 恰有三個單調(diào)區(qū)間 ,其中 f ( x ) 在區(qū)間 ∞ , 1 3 ?? , 1 3 ??, + ∞ 上是減少的 ,在區(qū)間 1 3 ??,1 3 ?? 上是增加的 . ZHONGNAN TANJIU 重難探究 首 頁 XINZHI DAOXUE 新知導(dǎo)學(xué) DANGTANG JIANCE 當(dāng)堂檢測 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式 用導(dǎo)數(shù)證明不等式 f ( x ) g ( x ) 在 ( a , b ) 上成立的一般方法 : ( 1 ) 構(gòu)造新函數(shù) F ( x ) =f ( x ) g ( x ), x ∈ ( a , b )。 ( 2 ) 證明 F39。 ( x ) = f39。 ( x ) g39。 ( x ) ≥ 0, 且 F ( a ) ≥ 0。 ( 3 ) 由 F ( x ) 在 ( a , b ) 上遞增 ,且 F ( x ) min =F ( a ) 得出結(jié)論 . 典型例題 4 證明 : 當(dāng) x 0 時 , x ??36 s in x x . 思路分析 :構(gòu)造函數(shù) F ( x ) =x s in x 與 G ( x ) = s in x x+??36,應(yīng)用單調(diào)性證明 . ZHONGNAN TANJIU 重難探究 首 頁 XINZHI DAOXUE 新知導(dǎo)學(xué) DANGTANG JIANCE 當(dāng)堂檢測 探究一 探究二 探究三 探究四 證明 :要證明 s in x x ( x 0 ) , 可先令 F ( x ) =x s in x ,易知 F ( 0 ) = 0 . 由于 F39。 ( x ) = 1 co s x ≥ 0 在 x 0 時恒成立 , 所以當(dāng) x 0 時 , F ( x ) 是增加的 . 從而有 F ( x ) F ( 0 ) = 0, 即 x s in x 0, x s in x . 為了證明 s in x x ??36( x 0 ) , 令 G ( x ) = s in x x+??36, 則有 G ( 0 ) = 0, G39。 ( x ) = co s x 1 +??22=??22 2 s in2??2 = 2 ??2 2 sin??2 2 . 因為 x s in x ( x 0 ) , 所以??2 s in??2( x 0) . ZHONGNAN TANJIU 重難探究 首 頁 XINZHI DAOXUE 新知導(dǎo)學(xué) DANGTANG JIANCE 當(dāng)堂檢測 探究一 探究二 探究三 探究四 當(dāng) 0 x ≤ 2, 即 0 ??2≤ 1 時 , s in x 0 . 又??2 s in??2, 所以 G39。 ( x ) 0 . 當(dāng) x 2 時 ,??2 1, 結(jié)合 sin??2 ≤ 1, 可得 ??2 2 sin??2 2, 即 G39。 ( x ) 0 . 綜上可得 , G ( x ) 在 x 0 時是增加的 ,從而有 G ( x ) G ( 0 ) = 0, 即 s i n x x ??36( x 0) . 將上述兩個不等式合并 ,即得當(dāng) x 0 時 , 有 x ??36 s in x x . 點評 構(gòu)造函數(shù) ,采用求導(dǎo)的方法 ,利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式 ,是證明不等式的常用方法 ,它是作差法的一個延伸 . ZHONGNAN TANJIU 重難探究 首 頁 XINZHI DAOXUE 新知導(dǎo)學(xué) DANGTANG JIANCE 當(dāng)堂檢測 ?? 變式訓(xùn)練 4 ?? 當(dāng) 0 xπ2時 , 求證 :tan x x+??33. 證明 :設(shè) f ( x ) = tan x ?? +??33 , 則 f39。 ( x ) = si n ??c o s ?? 39。 ?? +??33 39。 =co s2?? + si n2??co s2?? 1 x2 =si n2??co s2
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1