20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學(xué)211橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程1-免費(fèi)閱讀
【正文】 |PF2|及余弦定理求出 |PF1| | PF 2 | c ) a ， b ， c 的關(guān)系 a2＝ b2＋ c2 x 2a 2＋y 2b 2＝ 1 y 2a 2＋x 2b 2＝ 1 ． 求橢圓的方程，首先要建立直角坐標(biāo)系，由于曲線上同一個(gè)點(diǎn)在不同的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)不同，曲線的方程也不同，為了使方程簡(jiǎn)單，必須注意坐標(biāo)系的選擇．一般情況下，應(yīng)使已知點(diǎn)的坐標(biāo)和直線 (或曲線 )的方程盡可能簡(jiǎn)單，在求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，選擇 x軸經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn) F F2，并且使坐標(biāo)原點(diǎn)為線段F1F2的中點(diǎn)，這樣兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)比較簡(jiǎn)單，便于推導(dǎo)方程． 2．在推導(dǎo)橢圓方程時(shí)，為何要設(shè) |F1F2|＝ 2c，常數(shù)為 2a？為何令 a2－ c2＝ b2， 在求方程時(shí)，設(shè)橢圓的焦距為 2c(c0)，橢圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的和為 2a(a0)，這是為了使推導(dǎo)出的橢圓的方程形式簡(jiǎn)單．令 a2－ c2＝ b2是為了使方程的形式整齊而便于記憶． 3．推導(dǎo)橢圓方程時(shí)，需化簡(jiǎn)無理式，應(yīng)注意什么？ (1)方程中只有一個(gè)根式時(shí)，需將它單獨(dú)留在方程的一側(cè)，把其他項(xiàng)移到另一側(cè)； (2)方程中有兩個(gè)根式時(shí)，需將它們放在方程的兩側(cè)，并使其中一側(cè)只有一個(gè)根式，然后兩邊平方． 4 ． 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù) a 、 b ( a b 0 ) 有什么意義？方程x2a2＋y2b2 ＝ 1 與y2a2 ＋x2b2 ＝ 1 有何不同？ a 、 b 、 c 滿足什么關(guān)系？ a ， b ， c 三個(gè)量的關(guān)系： 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中， a 表示橢圓上的點(diǎn) M 到兩焦點(diǎn)間距離的和的一半，可借助圖形幫助記憶 ． a ， b ， c ( 都是正數(shù) ) 恰好構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三條邊， a 是斜邊，所以 a b ， a c ，且 a2＝ b2＋ c2.( 如圖所示 ) 當(dāng) a b 0 時(shí)，方程x2a2 ＋y2b2 ＝ 1 表示焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓，方程y2a2 ＋x2b2 ＝ 1 表示焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓，即焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上相 應(yīng)的那個(gè)項(xiàng)的分母就大 . F F2是兩點(diǎn)， |F1F2|＝ 8， (1)動(dòng)點(diǎn) M滿足 |MF1|＋ |MF2|＝ 10，則點(diǎn) M的軌跡是 ________ ____． (2)動(dòng)點(diǎn) M滿足 |MF1|＋ |MF2|＝ 8，則點(diǎn) M的軌跡是 _______． [答案 ] 以 F F2為焦點(diǎn)，焦距為 8的橢圓 線段 F1F2 [ 解析 ] ( 1 ) 因?yàn)?| F1F2|＝ 8 且動(dòng)點(diǎn) M 滿足 | MF1|＋ | MF2|＝1 0 8 ＝ | F1F2|， 由橢圓定義知，動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡是以 F F2為焦點(diǎn)，焦距為 8 的橢圓 ． ( 2 ) 因?yàn)?| MF1|＋ | MF2|＝ 8 ＝ | F1F2|，所以動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡是線段 F1F2. [答案 ] B [解析 ] ∵ 169144， ∴ 焦點(diǎn)在 y軸上， 又 ∵ c2＝ a2－ b2＝ 169－ 144＝ 25， ∴ c＝ 5， ∴ 焦點(diǎn)坐標(biāo)為 (0， 177。 5)． 2 ． 橢圓x21 4 4＋y21 6 9＝ 1 的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ( ) A ． ( 177。 c o s θ ＝ | F 1 F 2 |2＝ 4 c2， ∴ (| PF 1 |＋ | PF 2 |)2－ 2| PF 1 | |PF2|，而無需單獨(dú)求出，這樣可以減少運(yùn)算量． 2．焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)等于 2a＋ 2c. P 是橢圓x212＋y23＝ 1 上的一點(diǎn)， F 1 ， F 2 為兩個(gè)焦點(diǎn)，若 ∠ F 1 PF 2＝ 6 0 176。|PF2|看成一個(gè)整體，運(yùn)用公式 |PF1|2＋ |PF2|2＝ (|PF1|＋|PF2|)2－ 2|PF1| 5 ) ，則可設(shè)所求橢圓方程為x2m＋y2m ＋ 5＝ 1( m 0 ) ， 又橢圓經(jīng)過點(diǎn) (2 ，－ 3) ，則有4m＋9m ＋ 5＝ 1 ， 解得 m ＝ 10 或 m ＝－ 2( 舍去 ) ， 即所求橢圓的方程為x210＋y215＝ 1. 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 已知方程x 2k － 4－y 2k － 10＝ 1 表示焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍為 _ _ _ _ _ _ _ _ ． [ 分析 ] 先將方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，再利用焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓方程的充要條件求參數(shù) ． [ 解析 ] 原方程可化為x2k － 4＋y210 － k＝ 1 ，因?yàn)槠浔硎窘裹c(diǎn)在x 軸上的橢圓， ∴??
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