20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)24用向量討論垂直與平行(已改無錯字)
2022-12-29 23:22:17 本頁面
【正文】 ?? ?? ?? = ( 1 , 1 , 1 ) ( 2 , 2 , 0 ) = 2 2 + 0 = 0 , ∴ EF ⊥ AB1, EF ⊥ A C . 又 ∵ AB1∩ A C = A , ∴ EF ⊥ 平面 B1A C . 探究一 探究二 探究三 反思 ( 1 ) 解決本題時 ,有 3 種證明方法 . 證法一 :用傳統(tǒng)的幾何法 證明 ,利用三垂線定理 ,需添加輔助線 . 證法二 :選基底 ,將相關(guān)向量用基底表示出來 ,然后利用向量的計算來證明 . 證法三 :建立空間直角坐標(biāo)系 ,利用向量 ,且將向量的運算轉(zhuǎn)化為實數(shù)( 坐標(biāo) ) 的運算 ,以達(dá)到證明的目的 . ( 2 ) 幾何的綜合推理有時技巧性較強 ,而向量代數(shù)運算屬程序化操作 ,規(guī)律性較強 ,但有時運算量大 ,兩種處理方法各有優(yōu)點 . 探究一 探究二 探究三 【典型例題 7 】 在正棱錐 P ABC 中 , 三條側(cè)棱兩兩互相垂直 , G 是△ PAB 的重心 , E , F 分別為 BC , PB 上的點 , 且 BE ∶ E C = P F ∶ F B = 1 ∶ 2 . 求證 :( 1 ) 平面 GE F ⊥ 平面 P B C 。 ( 2 ) EG 是 PG 與 BC 的公垂線 . 思路分析 :證明面面垂直通常有兩種方法 ,一是利用面面垂直的判定定理 ,轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直證明 。二是證明兩個平面的法向量互相垂直 . 探究一 探究二 探究三 證明 : ( 1 )( 方法一 ) 如圖所示 ,以三棱錐的頂點 P 為原點 ,以 PA , PB , PC 所在直線分別作為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 . 令 P A = P B = P C = 3 ,則A ( 3 , 0 , 0 ), B ( 0 , 3 , 0 ), C ( 0 , 0 , 3 ), E ( 0 , 2 , 1 ), F ( 0 , 1 , 0 ), G ( 1 , 1 , 0 ), P ( 0 , 0 , 0 ) . 于是 ?? ?? = ( 3 , 0 , 0 ), ?? ?? = ( 1 , 0 , 0 ), 故 ?? ?? = 3 ?? ?? , ∴ PA ∥ F G. 而 PA ⊥ 平面 PBC , ∴ FG ⊥ 平面 P B C . 又 FG ? 平面 EFG , ∴ 平面 EFG ⊥ 平面 P B C . 探究一 探究二 探究三 ( 方法二 ) 同方法一 ,建立空間直角坐標(biāo)系 , 則 E ( 0 , 2 , 1 ), F ( 0 , 1 , 0 ), G ( 1 , 1 , 0 ) . ∴ ?? ?? = ( 0 , 1 , 1 ), ?? ?? = ( 1 , 1 , 1 ) . 設(shè)平面 EFG 的法向量是 n = ( x , y , z ), 則有 n ⊥ ?? ?? , n ⊥ ?? ?? . ∴ ?? + ?? = 0 ,?? ?? ?? = 0 ,令 y= 1 ,得 z= 1 , x= 0 , 即 n = ( 0 , 1 , 1 ) . 而顯然 ?? ?? = ( 3 , 0 , 0 ) 是平面 PBC 的一個法向量 , 這樣 n ?? ?? = 0 , ∴ n ⊥ ?? ?? ,即平面 PBC 的法向量與平面 EFC 的法向量互相垂直 , ∴ 平面 EFG ⊥ 平面 P B C . 探究一 探究二 探究三 ( 2 ) ∵ ?? ?? = ( 1 , 1 , 1 ), ?? ?? = ( 1 , 1 , 0 ), ?? ?? = ( 0 , 3 , 3 ), ∴ ?? ?? ?? ?? = 1 1 = 0 , ?? ?? ?? ?? = 3 3 = 0 , ∴ EG ⊥ PG , EG ⊥ BC , ∴ EG 是 PG 與 BC 的公垂線 . 點評 用空間向量法證明立體幾何中的垂直問題 ,主要運用了直線的方向向量和平面的法向量 ,同 時也要借助空間中已有的一些關(guān)于垂直的定理 .比種類型的題主要考查數(shù)形結(jié)合的思想 ,以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想 . 1 2 3 4 5 1 . 若直線 l 的方向向量為 a , 平面 α 的法向量為 n , 直線 l 不在平面 α 內(nèi) , 則能使 l ∥ α 的是 ( ) A . a = ( 1 , 0 , 0 ), n = ( 2 , 0 , 0 ) B. a = ( 1 , 3 , 5 ), n = ( 1 , 0 , 1 ) C. a = ( 0 , 2 , 1 ), n = ( 1 , 0 , 1 ) D. a = ( 1 , 1 , 3 ), n = ( 0 , 3 , 1 ) 解析 :欲使 l ∥ α ,則需 a ⊥ n ,即 a n = 0 ,故選 D . 答案 : D 1 2 3 4 5 2 . 如圖 , 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 , A C = 3 , B C = 4 , AB= 5 , AA1= 4 , 點 D 是 AB 的中點 . 求證 :( 1 ) AC ⊥ BC1。 ( 2 ) AC1∥ 平面 C DB1. 1 2 3 4 5 證明 : ∵ 直三棱柱 ABC A1B1C1的底面的三邊長 A C = 3 , B C = 4 , AB= 5 , ∴ AC , BC , C1C 兩兩垂直 . 如圖 ,以 C 為坐標(biāo)原點 ,直線 CA , CB , CC1分別為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 , 則 C ( 0 , 0 , 0 ), A ( 3 , 0 , 0 ), C1( 0 , 0 , 4 ), B ( 0 , 4 , 0 ), B1( 0 , 4 , 4 ), D 32, 2 , 0 . ( 1 ) ∵ ?? ?? = ( 3 , 0 , 0 ), ?? ??1 = ( 0 , 4 , 4 ) , ∴ ?? ?? ?? ??1 = 0 , ∴ ?? ?? ⊥ ?? ??1 , ∴ AC ⊥ BC1. 1 2 3 4 5 ( 2 ) 如圖 ,設(shè) CB 1 與 C 1 B 的交點為 E ,連接
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