20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)25夾角的計(jì)算(已改無(wú)錯(cuò)字)
2022-12-29 23:22:14 本頁(yè)面
【正文】 B D 與平面 EFD 夾角的余弦值 . 探究一 探究二 探究三 探究四 解 :由已知 CD ⊥ AD , CD ⊥ BD , ∴∠ A DB 就是直二面角 A CD B 的平面角 , ∴ AD ⊥ B D. 以 D 為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ,則 D ( 0 , 0 , 0 ), A ( 0 , 0 , 2 ), B ( 2 , 0 , 0 ), C ( 0 , 2 3 , 0 ), ∵ E , F 分別是 AC , BC 的中點(diǎn) , ∴ E ( 0 , 3 , 1 ), F ( 1 , 3 , 0 ), 則 ?? ?? = ( 0 , 3 , 1 ), ?? ?? = ( 1 , 3 , 0 ) .設(shè) m = ( x , y , z ) 是平面DE F 的法向量 . 探究一 探究二 探究三 探究四 由 ?? DE = 0 ,?? DF = 0得 3 y + z = 0 ,?? + 3 y = 0 .令 y = 1 , 得 ?? = 3 ,?? = 1 ,?? = 3 .∴ m = ( 3 , 1 , 3 ) . 同理可求得平面 ABD 的一個(gè)法向量 n = ( 0 , 1 , 0 ), ∴ co s ?? m , n ?? =?? ??|?? || ?? |=1 7= 77. ∴ 平面 ABD 與平面 EFD 夾角的余弦值為 77. 探究一 探究二 探究三 探究四 易錯(cuò)點(diǎn) 混淆二面角與平面間的夾角而致誤 【典型例題 5 】 已知四邊形 A B CD 為矩形 , PA ⊥ 平面 A B CD. 設(shè)P A = A B = a , B C= 2 a , 求二面角 B PC D 的余弦值 . 探究一 探究二 探究三 探究四 錯(cuò)解 :建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ,則 B ( a , 0 , 0 ), C ( a , 2 a , 0 ), P ( 0 , 0 , a ), D ( 0 , 2 a , 0 ), ?? ?? = ( 0 , 2 a , 0 ), ?? ?? = ( a , 0 , a ), ?? ?? = ( a , 0 , 0 ), ?? ?? = ( 0 , 2 a , a ) . 設(shè)平面 PBC ,平面 P C D 的法向量分別為 n1= ( x1, y1, z1), n2= ( x2, y2, z2), 則有 ??1 BC = 0 ,??1 BP = 0和 ??2 CD = 0 ,??2 PD = 0 . 即 2 ?? ??1= 0 , ?? ??1+ a ??1= 0和 ?? ??2= 0 ,2 ?? ??2 a ??2= 0 . 令 x1= 1 ,則 n1= ( 1 , 0 , 1 ), 令 y2= 1 ,則 n2= ( 0 , 1 , 2 ), 所以 co s ?? n1, n2?? =??1 ??2| ??1|| ??2|= 105. 故二面角 B PC D 的余弦值為 105. 探究一 探究二 探究三 探究四 錯(cuò)因分析 :二面角的取值范圍是 [ 0 , π ], 平面間的夾角的取值范圍是 0 ,π2 ,錯(cuò)解中將兩角相混淆 ,忽略了二面角既可能是銳角、直角也可能是鈍角 ,應(yīng)仔細(xì)觀察圖形 ,避免出錯(cuò) . 正 解 :由錯(cuò)解得 co s n1, n2=??1 ??2| ??1|| ??2|= 105. 觀察圖形知二面角 B PC D 為鈍角 , 所以二面角 B PC D 的余弦值為 105. 1 2 3 4 1 . 在長(zhǎng)方體 A B C D A1B1C1D1中 , 已知 AB= 4 , A D = 3 , AA1= 2 , E , F 分別是線段AB , BC 上的點(diǎn) , 且 E B = F B = 1 , 則直線 EC1與 FD1夾角的余弦值是 ( ) A . 2114 B. 1421 C.27 D.121 解析 :如圖 ,以 D 為原點(diǎn) , DA , DC , D D1 的方向 為 x 軸、 y 軸、 z 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系 , 則 E ( 3 , 3 , 0 ), F ( 2 , 4 , 0 ), D1( 0 , 0 , 2 ), C1( 0 , 4 , 2 ) . 所以 E C1 = ( 3 , 1 , 2 ), F D1 = ( 2 , 4 , 2 ), 所以 co s E C1
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