高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-1第二章第一課時空間向量與平行關(guān)系(編輯修改稿)
2024-12-23 23:14 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 令 z ＝ 1 ，得 x ＝ y ＝ 1 ，所以 n ＝ (1,1,1 ) ，所以 OD n ＝－a2＋a2＝ 0 ，所以 OD ⊥ n ，因為 OD 不在平面 P A B 內(nèi)，所以 OD ∥ 平面 P A B . 法二 ： 因為 O 、 D 分別是 AC 、 PC 的中點， 所以 OD ＝ CD － CO ＝12CP －12CA ＝12AP ，所以 OD ∥ AP ，即 OD ∥ AP ， OD 平面 P AB ， PA 面 P AB ，所以 OD ∥ 平面P AB . [一點通 ] 用向量法證明線面平行時，可證明直線的方向向量與平面的法向量垂直，也可直接證明平面內(nèi)的某一向量與直線的方向向量共線，還可以證明直線的方向向量與平面內(nèi)兩個不共線向量共面．但必須說明直線在平面外． 4．在長方體 ABCD－ A1B1C1D1中， AB＝ 3， AD＝ 4， AA1 ＝ M在棱 BB1上，且 BM＝ 2MB1，點 S在 DD1上，且SD1＝ 2SD，點 N， R分別為 A1D1， BC的中點 .求證：MN∥ 平面 RSD. 證明：法一： 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則根據(jù)題意得 M??????3 ， 0 ，43，N ( 0,2,2) ， R ( 3,2,0) ， S??????0 ， 4 ，23. ∴ MN ＝??????－ 3 ， 2 ，23， RS ＝??????－ 3 ， 2 ，23， MN ＝ RS . ∴ MN ∥ RS . ∵ M ? RS .∴ MN ∥ RS . 又 RS 平面 RS D ， MN 平面 R S D ， ∴ MN ∥ 平面 RS D . 法二： 設(shè) AB ＝ a ， AD ＝ b ，1AA＝ c ， 則 MN ＝1MB＋11BA＋1AN＝13c － a ＋12b ， RS ＝ RC ＋ CD ＋ DS ＝12b － a ＋13c ， ∴ MN ＝ RS ， ∴ MN ∥ RS ， 又 ∵ R ? MN ， ∴ MN ∥ RS . 又 RS 平面 R S D ， MN 平面 R S D ， ∴ MN ∥ 平面 R S D . 證明：法一： 以 D 為原點， DA ， DC ，1DD分別為 x ， y ， z 軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)正方體的棱長為 2 ， 則 A ( 2,0,0) ， D1( 0,0,2) ， C ( 0,2,0) ， B ( 2,2,0) ， O1( 1,1,2) ， ∴1AD ＝ ( － 2,0,2) ，1CD ＝ (0 ，－ 2,2) ， 5．在正方體 ABCD－ A1B1C1D1中， O1為 B1D1的中點，求 證： BO1∥ 平面 ACD1. 1BO＝ ( － 1 ，－ 1 ， 2) ， ∴1BO＝121AD＋121CD， ∴1BO與1AD，1CD共面． ∴1BO∥ 平面 ACD1. 又 BO1平面 ACD1， ∴ BO1∥ 平面 ACD1. 法二： 在證法一建立的空間直角坐標(biāo)系下，取 AC 的中點 O ，連接 D1O ，則 O ( 1, 1,0) ， ∴1DO＝ ( 1,1 ，－ 2) ． 又1BO ＝ ( － 1 ，－ 1,2) ， ∴1DO ＝－1BO . ∴1DO ∥1BO . 又 ∵1DO 與1BO 不共線 ， ∴ D 1 O ∥ BO 1 . 又 BO 1 平面 ACD 1 ， ∴ BO 1 ∥ 平面 ACD 1 . [例 3] (12分 )正方體 ABCD－ A1B1C1D1的棱長為 4，M、 N、 E、 F分別是棱 A1D A1B D1C B1C1的中點，求證：平面 AMN∥ 平面 EFBD. [思路點撥 ] 本題可通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量共線的條件先證線線平行，再證面面平行．也可以先求這兩個平面的法向量，然后
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