20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)第二章《空間向量與立體幾何》ppt本章整合課件-文庫吧
2025-10-13 23:21 本頁面
【正文】 ⊥ AP ,可推測 A 1 C 1 的中點(diǎn) O 1 即為所求的點(diǎn) Q. 因?yàn)?D 1 O 1 ⊥ A 1 C 1 , D 1 O 1 ⊥ AA 1 , 所以 D 1 O 1 ⊥ 平面 A C C 1 A 1 . 又 AP ? 平面 A C C 1 A 1 ,故 D 1 O 1 ⊥ AP. 從而 D 1 O 1 在平面 AD 1 P 上的投影與 AP 垂直 . 故存在定點(diǎn) Q 滿足題意 . 專題一 專題二 專題三 【應(yīng)用 2 】 如圖 ,在直四棱柱 A B C D A1B1C1D1中 ,已知DC = DD1= 2 A D = 2 AB , AD ⊥ DC , AB ∥ DC . ( 1 ) 設(shè) E 是 DC 的中點(diǎn) ,求證 : D1E ∥ 平面 A1BD 。 ( 2 ) 求平面 A1BD 與平面 C1BD 夾角的余弦值 . 專題一 專題二 專題三 提示 : ( 1 ) 本題可用常規(guī)法和向量法兩種方法求解 . ( 2 ) 用向量法求平面間的夾角的大小時(shí) ,應(yīng)結(jié)合夾角的取值范圍來判斷求出的是平面間的夾角 ,還是它的補(bǔ)角 . 專題一 專題二 專題三 解法一 : ( 1 ) 證明 :如圖 ,連接 BE ,則四邊形 DA B E 為正方形 ,所以B E = A D= A1D1,且 BE ∥ AD ∥ A1D1,所以四邊形 A1D1EB 為平行四邊形 ,所以D1E ∥ A1B. 又因?yàn)?D1E ? 平面 A1BD , A1B ? 平面 A1BD , 所以 D1E ∥ 平面 A1B D. 專題一 專題二 專題三 ( 2 ) 以 D 為原點(diǎn) , DA , DC , DD1所在直線分別為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ,不妨設(shè) DA = 1 , 則 D ( 0 , 0 , 0 ), A ( 1 , 0 , 0 ), B ( 1 , 1 , 0 ), C1( 0 , 2 , 2 ), A1( 1 , 0 , 2 ), 所以 ?? ??1 = ( 1 , 0 , 2 ), ?? ?? = ( 1 , 1 , 0 ) . 設(shè) n = ( x , y , z ) 為平面 A1BD 的法向量 , 由 n ⊥ DA1, n ⊥ ?? ?? ,得 ?? + 2 ?? = 0 ,?? + ?? = 0 . 則 ?? = ?? ,?? = 2 ?? .取 z= 1 ,則 n = ( 2 , 2 , 1 ) . 又 ?? ??1 = ( 0 , 2 , 2 ), ?? ?? = ( 1 , 1 , 0 ), 設(shè) m = ( x1, y1, z1) 為平面 C1BD 的法向量 ,由m ⊥ ?? ??1 , m ⊥ ?? ?? ,得 2 ??1+ 2 ??1= 0 ,??1+ ??1= 0 .取 z1= 1 ,則 m = ( 1 , 1 , 1 ) . 專題一 專題二 專題三 設(shè) m 與 n 的夾角為 α ,平面 A 1 BD 與平面 C 1 BD 的夾角為 θ ,因?yàn)?co s α =?? ??|?? || ?? |= 3 9 3= 33, 所以 co s θ = 33,即平面 A 1 B D 與平面 C 1 BD 的夾角的余弦值為 33. 專題一 專題二 專題三 解法二 :以 D 為原點(diǎn) , DA , DC , DD1所在直線分別為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系如解法一 ( 2 ) 中的圖 ,設(shè) DA = a ,由題意知D ( 0 , 0 , 0 ), A ( a , 0 , 0 ), B ( a , a , 0 ), C ( 0 , 2 a , 0 ), C1( 0 , 2 a , 2 a ), A1( a , 0 , 2 a ), D1( 0 , 0 , 2 a ), E ( 0 , a , 0 ) . ( 1 ) 證明 : ??1E = ( 0 , a , 2 a ), ?? ??1 = ( a , 0 , 2 a ), ?? ?? = ( a , a , 0 ), 又因?yàn)?( 0 , a , 2 a ) = ( a , a , 0 ) ( a , 0 , 2 a ), 所以 ??1E = ?? ?? ? ?? ??1 = ??1B . 因?yàn)?A1B ? 平面 A1BD , D1E ? 平面 A1BD , 所以 D1E ∥ 平面 A1B D. ( 2 ) 取 DB 的中點(diǎn) F , DC1的中點(diǎn) M ,連接 A1F , F M. 由 ( 1 ) 及題意 ,知 F ??2,??2, 0 , M ( 0 , a , a ), 所以 ?? ??1 = ??2, ??2, 2a , ?? ?? = ??2,??2, a . 專題一 專題二 專題三 因?yàn)??? ??1 ?? ?? = ??2, ??2, 2a ( a , a , 0 ) = 0 , ?? ?? ?? ?? = ??2,??2, a ( a , a , 0 ) = 0 ,所
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