20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)311橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(已修改)
2024-12-02 23:22 本頁(yè)面
【正文】 第三章 圓錐曲線與方程 167。 1 橢圓 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 課程目標(biāo) 學(xué)習(xí)脈絡(luò) 1 . 了解橢圓的實(shí)際背景 , 理解橢圓、焦點(diǎn)、焦距的定義 . 2 . 掌握推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過(guò)程 . 3 . 理解參數(shù) a , b , c 的幾何意義 , 會(huì)求一些簡(jiǎn)單的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 . 1 2 1 . 橢圓的定義 我們把平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn) F1, F2的距離之和等于常數(shù) ( 大于 |F1F2| ) 的點(diǎn)的集合叫作橢圓 . 這兩個(gè)定點(diǎn) F1, F2叫作橢圓的 焦點(diǎn) , 兩個(gè)焦點(diǎn) F1, F2間的距離叫作橢圓的 焦距 . 思考 1 為什么在橢圓的定義中要求其中的常數(shù)大于這兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離呢 ? 提示 :這是因?yàn)槿绻渲械某?shù)等于這兩個(gè)定點(diǎn)間的距離 ,相應(yīng)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是以這兩個(gè)定點(diǎn)為端點(diǎn)的線段 。如果其中的常數(shù)小于這兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離 ,相應(yīng)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在 .因此 ,在利用橢圓的定義來(lái)判斷相關(guān)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡時(shí) ,要注意其中的常數(shù)與這兩個(gè)定點(diǎn)的距離間的大小關(guān)系 ,否則容易出錯(cuò) . 1 2 2 . 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 1 2 名師點(diǎn)撥 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式 ,所謂 “ 標(biāo)準(zhǔn) ” ,就是橢圓的中心在原點(diǎn) ,焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上 .用待定系數(shù)法求 標(biāo)準(zhǔn)方程 ,首先要 “ 定位 ” ,即確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸 ,從而確定橢圓方程的類型 。其次是 “ 定量 ” ,即利用條件確定方程中 a , b 的值 .若不能確定焦點(diǎn)的位置 ,可分類設(shè)出方程或設(shè)兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的統(tǒng)一形式 .統(tǒng)一形式 : mx2+ n y2= 1 ( m 0 , n 0 , m ≠ n ) 或??2??+??2??= 1 ( m 0 , n 0 , m ≠ n ) . 1 2 思考 2 怎樣由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷橢圓焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸 ? 提示 :當(dāng)給出橢圓方程??2??+??2??= 1 時(shí) ,判斷方程所表示的橢圓的焦點(diǎn)的位置的方法是 :若橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上 ? 標(biāo)準(zhǔn)方程中 x2項(xiàng)的分母較大 ( m n 0 )。若橢圓的焦點(diǎn)在 y 軸上 ? 標(biāo)準(zhǔn)方程中 y2項(xiàng)的分母較大 ( n m 0 ), 這是判斷橢圓焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的重要方法 . 1 2 特別提醒 橢圓方程的形式 橢圓的方程形式不僅僅有課本中的這兩種 ,隨著在具體問(wèn)題中的坐標(biāo)系建立的不同 ,橢圓的方程形式也會(huì)有所不同 .可以想象 ,如果將一個(gè)方程是標(biāo)準(zhǔn)方程的形式的橢圓在坐標(biāo)系下進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊苿?dòng)以及旋轉(zhuǎn) ,相應(yīng)的橢圓方程就不會(huì)再是標(biāo)準(zhǔn)方程形式了 .只不過(guò)課本中的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)形式比較簡(jiǎn)單 ,有利于研究橢圓所具有的幾何性質(zhì) . 探究一 探究二 探究三 探究四 橢圓定義的應(yīng)用 1 .利用定義求橢圓的軌跡問(wèn)題 ( 1 ) 要善于挖掘題設(shè)條件中隱含的定義要素 ,達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的 。 ( 2 ) 利用定義求橢圓的軌跡方程 ,可避免求軌跡方程常用方法中的復(fù)雜運(yùn)算 。 ( 3 ) 用定義法求橢圓方程 ,有時(shí)要根據(jù)實(shí)際意義去掉不符合題意的點(diǎn) . 2 .橢圓的定義給出了一個(gè)結(jié)論 :橢圓上的點(diǎn) P 到兩焦點(diǎn) F1, F2的距離的和為常數(shù) 2 a ,則已知橢圓上一點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離就可以利用|MF1| + | MF2|= 2 a 求出該點(diǎn)到另一焦點(diǎn)的距離 . 3 .凡涉及橢圓上的點(diǎn)及橢圓焦點(diǎn)的問(wèn)題 ,應(yīng)首先考慮利用橢圓的定義求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例題 1 】 已知 B , C 是兩個(gè)定點(diǎn) , |BC|= 6 , 且 △ ABC 的周長(zhǎng)等于 16 ,求頂點(diǎn) A 的軌跡方程 . 思路分析 :選取線段 BC 的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) ,建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系 ,由B , C
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