20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)25夾角的計(jì)算-文庫吧資料
2024-11-24 23:22本頁面
【正文】 BC 的邊長(zhǎng)為 4 , CD 是 AB 邊上的高 , E , F 分別是 AC 和 BC 邊上的中點(diǎn) ( 如圖 ① ), 現(xiàn)將 △ A B C 沿 CD 翻折成直二面角A DC B ( 如圖 ② ) . 求平面 A B D 與平面 EFD 夾角的余弦值 . 探究一 探究二 探究三 探究四 解 :由已知 CD ⊥ AD , CD ⊥ BD , ∴∠ A DB 就是直二面角 A CD B 的平面角 , ∴ AD ⊥ B D. 以 D 為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ,則 D ( 0 , 0 , 0 ), A ( 0 , 0 , 2 ), B ( 2 , 0 , 0 ), C ( 0 , 2 3 , 0 ), ∵ E , F 分別是 AC , BC 的中點(diǎn) , ∴ E ( 0 , 3 , 1 ), F ( 1 , 3 , 0 ), 則 ?? ?? = ( 0 , 3 , 1 ), ?? ?? = ( 1 , 3 , 0 ) .設(shè) m = ( x , y , z ) 是平面DE F 的法向量 . 探究一 探究二 探究三 探究四 由 ?? A C1 |?? || A C1 |= ?? ?? ?? = 0 ,且 n ?? ??1 = 0 . ∵ AB ∩ AA1=A , ∴ MC1⊥ 平面 AB1. ∴∠ C1AM 是 AC1與側(cè)面 AB1的夾角 . 探究一 探究二 探究三 探究四 ∵ ?? ??1 = 32a ,??2, 2 a , ?? ?? = 0 ,??2, 2 a , ∴ ?? ??1 另一種是利用平面 AB 1 的法向量 n = ( λ , x , y ) 求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 解 : ( 方法一 ) 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 , 則 A ( 0 , 0 , 0 ), B ( 0 , a , 0 ), A1( 0 , 0 , 2 a ), C1 32a ,??2, 2 a . 取 A1B1的中點(diǎn) M , 則 M 0 ,??2, 2 a ,連接 AM , MC1, 有 ?? ??1 = 32a , 0 , 0 , ?? ?? = ( 0 , a , 0 ), ?? ??1 = ( 0 , 0 , 2 a ) . ∴ ?? ??1 ??|?? | 2 ??2 = 12. ∴ ?? ?? ??1 , ?? ?? ?? =2 π3. ∴ 異面直線 BA1和 AC 的夾角為π3. 探究一 探究二 探究三 探究四 點(diǎn)評(píng) 求異面直線的夾角 ,用向量法比較簡(jiǎn)單 ,若用基向量求解 ,則必須選好空間的一組基向量 ,若用坐標(biāo)系求解 ,一定要將每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)寫正確 . 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例題 2 】 在四棱錐 P A B C D 中 , PD ⊥ 平面 A B C D , PA 與平面A B C D 的夾角為π3, 在四邊形 A B C D 中 , ∠ D= ∠ D A B =π3, AB= 4 , C D= 1 , A D= 2 , 求異面直線 PA 與 BC 夾角的余弦值 . 探究一 探究二 探究三 探究四 解 :以點(diǎn) D 為坐標(biāo)原點(diǎn) ,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 . 由 PD ⊥ 平面 A B C D 知 , ∠ PAD 是 PA 與平面 A B C D 的夾角 , ∴∠ P A D=π3.在 Rt △ P DA 中 ,由 A D= 2 ,得 P D= 2 3 . 于是 P ( 0 , 0 , 2 3 ), A ( 2 , 0 , 0 ), B ( 2 , 4 , 0 ), C ( 0 , 1 , 0 ), ∴ ?? ?? = ( 2 , 0 , 2 3 ), ?? ?? = ( 2 , 3 , 0 ), ∴ co s ?? ?? , ?? ?? =?? ?? ?? ?? | ?? ??1 | ?? ?? |?? ??1 | ?? ?? = a2, ∴ ?? ??1 ?? ?? = 0 , ?? ??1 ?? ?? . ∵ AB ⊥ BC , BB1⊥ AB , BB1⊥ BC , ∴ ?? ?? ?? ?? + ?? ??1 ( ?? ?? + ?? ?? ) = ?? ?? ?? ??
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