20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學24用向量討論垂直與平行-在線瀏覽
2025-01-19 23:22本頁面
【正文】 知識來探討空間的垂直問題 ,主要研究向量的共線或垂直 ,以便用向量的基本運算進行求解 .當幾何體比較特殊時 ,構(gòu)建空間直角坐標系解題較為簡單 . 一 二 二、空間中的平行關(guān)系 1 . 線線平行判定定理 如果平面內(nèi)的兩條直線沒有 公共點 , 則這兩條直線平行 . 2 . 線面平行判定定理 若 平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線 平行 , 那么這條直線和這個平面平行 . 3 . 面面平行判定定理 若一個平面內(nèi)有兩條相交直線都 平行 于另一個平面 , 則這兩個平面平行 . 一 二 思考 2 如何利用向量知識判斷直線、平面的平行 ? 提示 :平行關(guān)系包括 :線線平行、線面平行和面面平行 .用向量知識判斷時 ,主要是研究直線的方向向量、平面的法向量之間的關(guān)系 .通常情況下 ,構(gòu)建空間直角坐標系 ,用坐標運算進行求解 .兩條直線 ( 不重合 ) 的方向向量共線時 ,兩條直線平行 .一條直線與一個平面的法向量垂直時 ,若直線不在平面內(nèi) ,則直線與平面平行 .兩個平面 ( 不重合 ) 的法向量共線時 ,兩個平面平行 .通常 ,用向量共線的充要條件或向量數(shù)量積的計算公式求解 . 探究一 探究二 探究三 求平面的法向量 要求出一個平面的法向量的坐標 ,一般要建立空間直角坐標系 ,然后用待定系數(shù)法求解 ,一般步驟如下 : ( 1 ) 設(shè)出平面的法向量為 n = ( x , y , z ) . ( 2 ) 找出 ( 求出 ) 平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標 a = ( a1, b1, c1), b = ( a2, b2, c2) . ( 3 ) 根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于 x , y , z 的方程組 ?? ?? = 0 . ( 4 ) 解方程組 ,取其中的一個解 ,即得法向量 .由于一個平面的法向量有無數(shù)個 ,故可在代入方程組的解中取一個最簡單的作為平面的法向量 . 確定平面的法向量通常有兩種方法 :① 幾何體中已經(jīng)給出有向線段 ,只需證明線面垂直 .② 幾何體中沒有具體的直線 ,此時可以采用待定系數(shù)法求解平面的法向量 . 探究一 探究二 探究三 【典型例題 1 】 已知平面 α 經(jīng)過三點 A ( 1 , 2 , 3 ), B ( 2 , 0 , 1 ), C ( 3 , 2 , 0 ), 試求平面 α 的一個法向量 . 思路分析 :可采用待定系數(shù)法 ,設(shè)出法向量 ,根據(jù)它和 α 內(nèi)不共線兩個向量的垂直關(guān)系建立方程組進行求解 . 解 : ∵ A ( 1 , 2 , 3 ), B ( 2 , 0 , 1 ), C ( 3 , 2 , 0 ), ∴ ?? ?? = ( 1 , 2 , 4 ), ?? ?? = ( 2 , 4 , 3 ) . 設(shè)平面 α 的法向量是 n = ( x , y , z ), 依題意 ,應有 n ?? ?? = 0 , 即 ?? 2 ?? 4 ?? = 0 ,2 ?? 4 ?? 3 ?? = 0 ,解得 z= 0 ,且 x= 2 y. 令 y= 1 ,則 x= 2 . 故 n = ( 2 , 1 , 0 ) 是平面 α 的一個法向量 . 探究一 探究二 探究三 點評 用待定系數(shù)法求平面的法向量 ,關(guān)鍵是在平面內(nèi)找兩個不共線的向量 ,然后列出方程組 ,方程組有無數(shù)組解 ,取其中的一組解即可 ,但要注意在取方程組的一組解時 ,不能都取零 ,否則得到零向量 ,而零向量 的方向不能確定 ,不能作為法向量 . 探究一 探究二 探究三 利用向量方法證明空間中的平行關(guān)系 1 . 線線平行 設(shè)直線 l1, l2的方向向量分別是 a , b ,若要證 l1∥ l2,只需證 a ∥ b ,即a = λ b ( b ≠ 0 ) . 2 . 線面平行 ( 1 ) 設(shè)直線 l 的方向向量是 a ,平面的法向量是 u ,若要證 l ∥ α ,只需證a ⊥ u ,即 a ( 2 ) 平面 A DE ∥ 平面 B 1 C 1 F. 思路分析 :畫出示意圖后用常規(guī)的方法也能將問題得以解決 ,但不如用向量法處理直接簡單 ,因此本題可以通過建立空間直角坐標系 ,借助法向量來處理 . 探究一 探究二 探究三 證明 :如圖所示 ,建立空間直角坐標系 D xyz ,則有 D ( 0 , 0 , 0 ), A ( 2 , 0 , 0 ), C ( 0 , 2 , 0 ), C1( 0 , 2 , 2 ), E ( 2 , 2 , 1 ), F ( 0 , 0 , 1 ), ∴ ?? ??1 = ( 0 , 2 , 1 ), ?? ?? = ( 2 , 0 , 0 ), ?? ?? = ( 0 , 2 , 1 ) . 設(shè) n1= ( x1, y1, z1), n2= ( x2, y2, z2) 分別是平面 A DE 和平面 B1C1F 的法向量 ,則 n1⊥ ?? ?? , n1⊥ ?? ?? , ∴ ??1 AE = 2 y1+ z1= 0 , ∴ ??1= 0 ,??1= 2 ??1,取 y1= 1 ,則 n1= ( 0 , 1 , 2 ) . 同理可求 n2= ( 0 , 1 , 2 ) . 探究一 探究二 探究三 ( 1 ) ∵ n 1 ( 0 , 2 , 1 ) = 0 , ∴ n 1 ⊥ ?? ?? 1 . 又 F C 1 ? 平面 A DE , ∴ FC 1 ∥ 平面 A DE . ( 2 ) ∵ n 1 ∥ n 2 , ∴ 平面 A DE ∥ 平面 B 1 C 1 F. 探究一 探究二 探究三 點評 運用空間向量解答立體幾何問題應注意處理和把握好以下兩大關(guān)系 :一是向量法和純幾何法在解題中相互融合滲透的關(guān)系 .大多數(shù)立體幾何解答題 ,既可以用向量法求解 ,也可以用幾何法求解 .二是用向量法解題時 ,是選用基底向量 ( 不建立空間直角坐標系 ), 還是通過建立空間直角坐標系 ,選用坐標向量的關(guān)系 ,根據(jù)題目含義而定 .對于出現(xiàn)垂直關(guān)系的特殊幾何體 ,如正方體、長方體、直棱柱、有一條側(cè)棱垂直于底面的棱錐等 ,往往通過建立空間直角坐標系解答 較為方便 . 探究一 探究二 探究三 【典型例題 4 】 如圖 , 在正方體 A B C D A1B1C1D1中 , E , F , G , H , M , N 分別是正方體六個面的中心 . 求證 : 平面 EFG ∥ 平面 HMN . 思路分析 :用向量證明面面平行有兩個途徑 :利用面面平行的判定定理 ,即證明一
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