20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)25夾角的計算-在線瀏覽
2025-01-19 23:22本頁面
【正文】 = π ?? s 1 , s 2 ?? ,最后得出結(jié)論 . 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例題 1 】 如圖所示 , 在棱長為 a 的正方體 A B C D A1B1C1D1中 ,求異面直線 BA1和 AC 的夾角 . 思路分析 :利用 ?? ??1 ?? ?? = ( ?? ?? + ?? ??1 ) ?? ?? + ?? ?? ?? ?? + ?? ??1 ?? ?? = 0 , ?? ??1 ?? ?? = 0 , ?? ?? ?? ?? = a2. 又 co s ?? ?? ??1 , ?? ?? ?? =?? ??1 | ?? ?? |= ??2 2 a 2 a= 12, ∴ ?? ?? ??1 , ?? ?? ?? =2 π3, ∴ 異面直線 BA1和 AC 的夾角為π3. 探究一 探究二 探究三 探究四 解法二 :以 D 為原點 , DA , DC , DD1所在的直線為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立如圖所示的空間直角坐標系 ,則 A ( a , 0 , 0 ), B ( a , a , 0 ), C ( 0 , a , 0 ), A1( a , 0 , a ) . ∴ ?? ??1 = ( 0 , a , a ), ?? ?? = ( a , a , 0 ) . ∴ co s ?? ?? ??1 , ?? ?? ?? =?? ??1 | ?? ?? |= ??2 2 ??2 ?? ?? | ?? ?? || ?? ?? |= 44 13= 1313, ∴ PA 與 BC 夾角的余弦值為 1313. 探究一 探究二 探究三 探究四 點評 要求兩條異面直線的夾角 ,首先建立適當?shù)目臻g直角坐標系 ,求出兩條異面直線所在的方向向量 ,然后求出兩個向量夾角的余弦值 ,最后轉(zhuǎn)化為兩條異面直線的夾角 .這里要注意的是 ,向量夾角的范圍是 [ 0 , π ], 而異面直線夾角的范圍是 0 ,π2 .若最后用向量法求出兩向量的夾角是鈍角時 ,要轉(zhuǎn)化為其補角 ,才可以作為兩條異面直線的夾角 . 探究一 探究二 探究三 探究四 直線與平面的夾角 設(shè)直線 l 的方向向量為 m ,平面 α 的法向量為 n ,直線 l 與平面 α 的夾角為 θ ,則 sin θ =| cos ?? m , n ?? |=?? |?? |或 c o s θ = sin ?? m , n ?? . 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例題 3 】 已知正三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 的底面邊長為 a , 側(cè)棱長為 2 a , 求 AC 1 與側(cè)面 AB 1 的夾角 . 思路分析 :利用正三棱柱的性質(zhì) ,建立適當?shù)目臻g直角坐標系 ,寫出有關(guān)點的坐標 .求角時有兩種思路 :一是由定義找出線面角 ,取 A 1 B 1 的中點 M ,連接 C 1 M ,證明 ∠ C 1 AM 是 AC 1 與平面 AB 1 的夾角 。 ?? ?? = 0 , ?? ??1 ?? ?? = 0 +??24+ 2 a2=9 ??24. 而 | ?? ??1 |= 3 ??24+??24+ 2 ??2= 3 a , | ?? ?? |= ??24+ 2 ??2=32a , ∴ co s ?? ??1 , ?? ?? =9 ??24 3 a 3 ??2= 32. ∴ ?? ??1 , ?? ?? =π6,即 AC1與側(cè)面 AB1的夾角為π6. 探究一 探究二 探究三 探究四 ( 方法二 ) 建立同方法一的空間直角坐標系 ,則 ?? ??1 = ( 0 , 0 , 2 a ) . 設(shè)側(cè)面 AB1的法向量 n = ( λ , x , y ), ∴ n ?? ??1 = 0 . ∴ a x= 0 ,且 2 a y= 0 . ∴ x= y= 0 ,故 n = ( λ , 0 , 0 ) . ∵ ?? ??1 = 32a ,??2, 2 a , ∴ co s ?? ??1 ,
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