20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)322拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)-在線瀏覽
2025-01-19 23:22本頁(yè)面
【正文】 4=0 , xA+xB=3p , xAxB=p24.又直線 AB 的斜率k = 1 ,由弦長(zhǎng)公式知 , | AB | = 1 + k2 ( 3p )2 p2 = 2 8 = 2 . 答案 : 2 探究一 探究二 探究三 探究四 直線與拋物線的位置關(guān)系 1 .直線與拋物線的位置關(guān)系 : ( 1 ) 相交 :有兩個(gè)交點(diǎn) ,兩交點(diǎn)的連線段叫作弦 . ( 2 ) 相切 :有一個(gè)交點(diǎn) . ( 3 ) 相離 :無(wú)公共點(diǎn) . 注 :平行于焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸或與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸重合的直線與標(biāo)準(zhǔn)拋物線也只有一個(gè)交點(diǎn) . 2 .弦長(zhǎng)公式 若直線 y = k x + b 與拋物線 y2=2px 有兩個(gè)交點(diǎn) A ( x1, y1), B ( x2, y2), 則 | AB | = 1 + k2|x1 x2| = 1 + k2 ( x1+ x2)2 4 x1x2 或 | AB | = 1 +1k2|y1 y2| = 1 +1k2 ( y1+ y2)2 4 y1y2. 另外 ,要注意直線方程斜率不存在時(shí)的情況 . 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例題 3 】 已知拋物線的方程為 y2=4x , 直線 l 過(guò)定點(diǎn) P ( 2 , 1 ), 斜率為 k. 當(dāng) k 為何值時(shí) , 直線 l 與拋物線 : 只有一個(gè)公共點(diǎn) 。 沒(méi)有公共點(diǎn) . 思路分析 :用解析法解決這個(gè)問(wèn)題 ,只要討論直線 l 的方程與拋物線的方程組成的方程組的解的情況 ,由方程組解的情況判斷直線 l 與拋物線的位置關(guān)系 . 解 :由題意 ,設(shè)直線 l 的方程為 y 1=k ( x + 2 ) . 由方程組 y 1 = k ( x + 2 ),y2= 4x ,( * ) 得 ky2 4 y + 4 ( 2 k + 1 ) =0. ① ( 1 ) 當(dāng) k = 0 時(shí) ,由方程 ① 得 y = 1 .把 y = 1 代入 y2=4x ,得 x=14. 這時(shí) ,直線 l 與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn) 14, 1 . 探究一 探究二 探究三 探究四 ( 2 ) 當(dāng) k ≠ 0 時(shí) ,方程 ① 的判別式為 Δ = 16 ( 2k2+k 1 ) . ① 由 Δ =0 ,即 2k2+k 1=0 ,解得 k= 1 或 k=12. 于是 ,當(dāng) k= 1 或 k=12時(shí) ,方程 ① 只有一個(gè)解 ,從而方程組 ( * ) 只有一個(gè)解 .這時(shí) ,直線 l 與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn) . ② 由 Δ 0 ,即 2k2+k 10 ,解得 1 k 12. 于是 ,當(dāng) 1 k 12,且 k ≠ 0 時(shí) ,方程 ① 有兩個(gè)解 ,從而方程組 ( * ) 有兩個(gè)解 .這時(shí) ,直線 l 與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn) . 探究一 探究二 探究三 探究四 ③ 由 Δ 0 ,即 2k2+k 10 ,解得 k 1 或 k12. 于是 ,當(dāng) k 1 或 k12時(shí) ,方程 ① 沒(méi)有實(shí)數(shù)解 ,從而方程組 ( * ) 沒(méi)有解 .這時(shí) ,直線 l 與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn) . 綜上 ,我們可得 當(dāng) k= 1 或 k=12或 k = 0 時(shí) ,直線 l 與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn) 。 當(dāng) k 1 或 k12時(shí) ,直線 l 與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn) . 探究一 探究二 探究三 探究四 點(diǎn)評(píng) 解決直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問(wèn)題時(shí) ,主要方法是構(gòu)建一元二次方程 ,判斷其解的個(gè)數(shù) ,確定斜率或直線的傾斜角時(shí) ,應(yīng)特別注意斜率為 0和斜率不存在兩種情形 ,還應(yīng)注意在拋物線中 ,直線和曲線有一 個(gè)公共點(diǎn)并不一定相切 . 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例題 4 】 如圖 , 已知拋物線 y2= x 與直線 y = k ( x + 1 )( k ≠ 0 ) 相交于A , B 兩點(diǎn) , 且直線與 x 軸交于點(diǎn) N. ( 1 ) 求證 : OA ⊥ OB 。 OB =y1y2+ y12y22=y1y2( 1 + y1y2) =0 , ∴ OA ⊥ OB . 探究一 探究二 探究三 探究四 ( 2 ) 解 : S △OAB=12 |y2 y1| , 由 y2= x ,y = k ( x + 1 )得 ky2+y k = 0 . ∴ y1+y2= 1
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