20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)322拋物線的簡單性質(zhì)-在線瀏覽
2025-01-19 23:22本頁面
【正文】 4=0 , xA+xB=3p , xAxB=p24.又直線 AB 的斜率k = 1 ,由弦長公式知 , | AB | = 1 + k2 ( 3p )2 p2 = 2 8 = 2 . 答案 : 2 探究一 探究二 探究三 探究四 直線與拋物線的位置關(guān)系 1 .直線與拋物線的位置關(guān)系 : ( 1 ) 相交 :有兩個交點 ,兩交點的連線段叫作弦 . ( 2 ) 相切 :有一個交點 . ( 3 ) 相離 :無公共點 . 注 :平行于焦點所在坐標軸或與焦點所在坐標軸重合的直線與標準拋物線也只有一個交點 . 2 .弦長公式 若直線 y = k x + b 與拋物線 y2=2px 有兩個交點 A ( x1, y1), B ( x2, y2), 則 | AB | = 1 + k2|x1 x2| = 1 + k2 ( x1+ x2)2 4 x1x2 或 | AB | = 1 +1k2|y1 y2| = 1 +1k2 ( y1+ y2)2 4 y1y2. 另外 ,要注意直線方程斜率不存在時的情況 . 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例題 3 】 已知拋物線的方程為 y2=4x , 直線 l 過定點 P ( 2 , 1 ), 斜率為 k. 當(dāng) k 為何值時 , 直線 l 與拋物線 : 只有一個公共點 。 沒有公共點 . 思路分析 :用解析法解決這個問題 ,只要討論直線 l 的方程與拋物線的方程組成的方程組的解的情況 ,由方程組解的情況判斷直線 l 與拋物線的位置關(guān)系 . 解 :由題意 ,設(shè)直線 l 的方程為 y 1=k ( x + 2 ) . 由方程組 y 1 = k ( x + 2 ),y2= 4x ,( * ) 得 ky2 4 y + 4 ( 2 k + 1 ) =0. ① ( 1 ) 當(dāng) k = 0 時 ,由方程 ① 得 y = 1 .把 y = 1 代入 y2=4x ,得 x=14. 這時 ,直線 l 與拋物線只有一個公共點 14, 1 . 探究一 探究二 探究三 探究四 ( 2 ) 當(dāng) k ≠ 0 時 ,方程 ① 的判別式為 Δ = 16 ( 2k2+k 1 ) . ① 由 Δ =0 ,即 2k2+k 1=0 ,解得 k= 1 或 k=12. 于是 ,當(dāng) k= 1 或 k=12時 ,方程 ① 只有一個解 ,從而方程組 ( * ) 只有一個解 .這時 ,直線 l 與拋物線只有一個公共點 . ② 由 Δ 0 ,即 2k2+k 10 ,解得 1 k 12. 于是 ,當(dāng) 1 k 12,且 k ≠ 0 時 ,方程 ① 有兩個解 ,從而方程組 ( * ) 有兩個解 .這時 ,直線 l 與拋物線有兩個公共點 . 探究一 探究二 探究三 探究四 ③ 由 Δ 0 ,即 2k2+k 10 ,解得 k 1 或 k12. 于是 ,當(dāng) k 1 或 k12時 ,方程 ① 沒有實數(shù)解 ,從而方程組 ( * ) 沒有解 .這時 ,直線 l 與拋物線沒有公共點 . 綜上 ,我們可得 當(dāng) k= 1 或 k=12或 k = 0 時 ,直線 l 與拋物線只有一個公共點 。 當(dāng) k 1 或 k12時 ,直線 l 與拋物線沒有公共點 . 探究一 探究二 探究三 探究四 點評 解決直線與圓錐曲線的交點問題時 ,主要方法是構(gòu)建一元二次方程 ,判斷其解的個數(shù) ,確定斜率或直線的傾斜角時 ,應(yīng)特別注意斜率為 0和斜率不存在兩種情形 ,還應(yīng)注意在拋物線中 ,直線和曲線有一 個公共點并不一定相切 . 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例題 4 】 如圖 , 已知拋物線 y2= x 與直線 y = k ( x + 1 )( k ≠ 0 ) 相交于A , B 兩點 , 且直線與 x 軸交于點 N. ( 1 ) 求證 : OA ⊥ OB 。 OB =y1y2+ y12y22=y1y2( 1 + y1y2) =0 , ∴ OA ⊥ OB . 探究一 探究二 探究三 探究四 ( 2 ) 解 : S △OAB=12 |y2 y1| , 由 y2= x ,y = k ( x + 1 )得 ky2+y k = 0 . ∴ y1+y2= 1
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