20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)311橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程-展示頁
2024-11-28 23:22本頁面
【正文】 P F1| | P F2|= 4 a2.在 △ PF1F2中 ,由余弦定理得| P F1|2+ | P F2|2 2 | P F1| | P F2|看成一個(gè)整體 ,運(yùn)用公式 | P F1|2+ | P F2|2= ( | P F1| + | P F2| )2 2 | P F1| 如果明確焦點(diǎn)在 y 軸上 ,那么設(shè)所求的橢圓方程為 ??2??2+??2??2= 1 ( a b 0 ) . ( 2 ) 如果中心在原點(diǎn) ,但焦點(diǎn)的位置不能明確是在 x 軸上還是在 y 軸上 ,那么方程可以設(shè)為 mx2+ n y2= 1 ( m 0 , n 0 , m ≠ n ), 進(jìn)而求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例題 2 】 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 : ( 1 ) 兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 ( 4 , 0 ) , ( 4 , 0 ), 橢圓上任意一點(diǎn) P 到兩焦點(diǎn)的距離的和等于 10 。 ( 3 ) 用定義法求橢圓方程 ,有時(shí)要根據(jù)實(shí)際意義去掉不符合題意的點(diǎn) . 2 .橢圓的定義給出了一個(gè)結(jié)論 :橢圓上的點(diǎn) P 到兩焦點(diǎn) F1, F2的距離的和為常數(shù) 2 a ,則已知橢圓上一點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離就可以利用|MF1| + | MF2|= 2 a 求出該點(diǎn)到另一焦點(diǎn)的距離 . 3 .凡涉及橢圓上的點(diǎn)及橢圓焦點(diǎn)的問題 ,應(yīng)首先考慮利用橢圓的定義求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例題 1 】 已知 B , C 是兩個(gè)定點(diǎn) , |BC|= 6 , 且 △ ABC 的周長等于 16 ,求頂點(diǎn) A 的軌跡方程 . 思路分析 :選取線段 BC 的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) ,建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系 ,由B , C 為兩定點(diǎn) , A 為動點(diǎn) ,研究 | A B |+ |AC| 是否為定值 ,并比較與 |BC| 的大小關(guān)系 ,從而判斷點(diǎn) A 的軌跡圖形形狀 ,進(jìn)而得到軌跡方程 . 探究一 探究二 探究三 探究四 解 : 如圖所示 ,建立平面直角坐標(biāo)系 ,使 x 軸經(jīng)過點(diǎn) B , C ,原點(diǎn) O 與 BC 的中點(diǎn)重合 . 由已知 | A B | + | A C | + | B C | = 16 , | B C | = 6 ,有 | A B | + | A C | = 10 6 ,即點(diǎn) A 的軌跡是橢圓 ,且 2 c= 6 , 2 a= 16 6 = 10 . ∴ c= 3 , a= 5 , b2= 52 32= 16 . 但當(dāng)點(diǎn) A 在直線 BC 上 ,即 y= 0 時(shí) , A , B , C 三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形 , ∴ 點(diǎn) A 的軌跡方程是??225+??216= 1 ( y ≠ 0 ) . 探究一 探究二 探究三 探究四 點(diǎn)評 找出點(diǎn) A 的軌跡滿足 |AB |+ |BC|= 10 6 后 ,知 A 的軌跡是橢圓 ,用定義法求出其方程 ,但要注意去掉不符合題意的點(diǎn) ( 5 , 0 ) ,( 5 , 0 ) . 探究一 探究二 探究三 探究四 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法 ,要恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的形式 ,如果不能確定焦點(diǎn)的位置 ,那么有兩種方法來解決問題 :一是分類討論全面考慮問題 。若橢圓的焦點(diǎn)在 y 軸上 ? 標(biāo)準(zhǔn)方程中 y2項(xiàng)的分母較大 ( n m 0 ), 這是判斷橢圓焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的重要方法 . 1 2 特別提醒 橢圓方程的形式 橢圓的方程形式不僅僅有課本中的這兩種 ,隨著在具體問題中的坐標(biāo)系建立的不同 ,橢圓的方程形式也會有所不同 .
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