20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學25夾角的計算-展示頁
2024-11-28 23:22本頁面
【正文】 =| ?? ??1 || ?? ?? | co s ?? ?? ??1 , ?? ?? ?? ,求出向量 ?? ??1 與 ?? ?? 的夾角 ?? ?? ??1 , ?? ?? ?? ,再根據(jù)異面直線的夾角的范圍確定異面直線 BA1, AC 的夾角 . 探究一 探究二 探究三 探究四 解法一 : ∵ ?? ??1 = ?? ?? + ?? ??1 , ?? ?? = ?? ?? + ?? ?? , ∴ ?? ??1 當??2 n1, n2 ≤ π 時 , 平面 π1與 π2的夾角等于 π n1, n2 . 1 2 3 思考 2 如何利用向量求平面間的夾角 ? 提示 :先求出兩個平面的法向量 ,再利用向量夾角公式求角 ,則該角或它的補角就等于平面間的夾角 .一般用坐標運算進行 ,求解后要結合題意來判斷求出的角是夾角的補角還是夾角 . 1 2 3 3 . 直線與平面的夾角 ( 1 ) 平面外一條直線與它在該平面內(nèi)的 投影 的夾角叫作該直線與此平面的夾角 . 如下圖中的角 θ . ( 2 ) 如果一條直線與一個平面平行或在平面內(nèi) , 我們規(guī)定這條直線與平面的夾角為 0 . ( 3 ) 如果一條直線與一個平面垂直 , 我們規(guī)定這條直線與平面的夾角是π2. 1 2 3 思考 3 如何利用向量知識求直線與平面的夾角 ? 提示 :取直線的方向向量和平面的法向量 ,用向量的夾角公式求出這個角 ,若該角為銳角或直角 ,則它的余角就是直線與平面的夾角 。 當π2 s1, s2 ≤ π 時 , 直線 l1與 l2的夾角等于π s1, s2 . 1 2 3 思考 1 如何利用向量知識求異面 直線的夾角 ? 提示 :取兩異面直線的方向向量 ,用向量的夾角公式求解 .解題時 ,若求出的向量的夾角為鈍角 ,則異面直線的夾角為其補角 。167。 5 夾角的計算 課程目標 學習脈絡 1 . 掌握異面直線的夾角、平面間的夾角、直線與平面的夾角的定義 , 搞清它們各自的取值范圍 . 2 . 細心體會求空間中角的轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結合思想 , 熟練掌握平移、射影 ( 投影 ) 等方法 . 3 . 靈活運用向量法與綜合法 , 從不同的角度解決立體幾何中角的問題 . 1 2 3 1 . 直線間的夾角 ( 1 ) 如圖 , 當兩條直線 l1與 l2共面時 , 我們把兩條直線交角中 , 范圍在 0 ,π2 內(nèi)的角叫作兩條直線的 夾角 . ( 2 ) 如圖 , 當直線 l1與 l2是異面直線時 , 在直線 l1上任取一點 A 作 AB ∥ l2,我們把直線 l1和直線 AB 的夾角叫作異面直線 l1與 l2的 夾角 . 1 2 3 ( 3 ) 空間直線由一點和一個方向確定 , 所以空間兩條直線的夾角由它們的 方向向量 的夾角確定 . 如下圖 , 已知直線 l1與 l2的方向向量分別為 s1, s2, 當 0 ≤ s1, s2 ≤π2時 , 直線 l1與 l2的夾角等于 s1, s2 。若求出的向量的夾角為銳角或直角 ,則可以直接表示異面直線的夾角 . 1 2 3 2 . 平面間的夾角 ( 1 ) 平面 π1與 π2相交于直線 l , 點 R 為直線 l 上任意一點 , 過點 R , 在平面 π1上作直線 l1⊥ l , 在平面 π2上作直線 l2⊥ l , 則 l1∩ l2=R. 我們把直線 l1和 l2的夾角叫作平面 π1與 π2的夾角 . ( 2 ) 若平面 π1和 π2的法向量分別為 n1和 n2, 則當 0 ≤ n1, n2 ≤??2時 , 平面 π1與 π2的夾 角等于?? n1, n2?? 。若該角為鈍角 ,則它的補角的余角為直線與平面的夾角 . 1 2 3 反思 1 .直線與平面所成的角用向量來求時 ,得到的不是線面角 ,而是它的余角 ( 或補角的余角 ) .應注意到線面角為銳角 ( 或直角 ) . 2 .直線與平面所成角 θ 的范圍是 0 ,π2 .向量法可通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角 φ 求得 ,關系式 : sin θ =| co s φ |或 c o s θ = sin φ . 探究一 探究二 探究三 探究四 直線間的夾角 已知直線 l 1 與 l 2 的方向向量分別為 s 1 , s 2 , l 1 與 l 2 間的夾角為 θ ,先用向量夾角公式求出 ?? s 1 , s 2 ?? 或 c o s ?? s 1 , s 2 ?? ,再根據(jù)直線間的夾角的范圍判斷θ = ?? s 1 , s 2 ?? 還是 θ
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