新人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-131空間向量及其運(yùn)算(編輯修改稿)
2025-01-13 22:40 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ∵ GC1 =（ 0,43 ,0） (0,1,1)=（ 0,41 ,1） . ∴ | GC1 |= 174 又 EF GC1 =21 0+21 （ 41 ） +（ 21 ） (1)=83 , |EF |= 32 , ∴ cos〈 EEF , GC1 〉 = 11| |?||EF CGEF C G = 5117 即異面直線 EF 與 C1G 所成角的余弦值為 51 . （ 3）∵ F（ 21 ， 21 ， 0）、 H（ 0， 87 ， 21 ）， ∴ FH =（ 21 ， 38 ， 21 ）， ∴ |EF |= 2 2 21 3 1 1 4( ) ( ) ( ) =2 8 2 8? ? ? 在長方體 OABC－ O1A1B1C1中 ， |OA|＝ 2， |AB|＝ 3， |AA1|＝ 2， E 是 BC 的中點(diǎn) ， 建立空間直角坐標(biāo)系 ， 用向量方法解下列問題 ： (1)求直線 AO1與 B1E 所成角的余弦值 ； (2)作 O1D⊥ AC 于 D， 求點(diǎn) O1到點(diǎn) D 的距離 ． 解 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． （ 1）由題意得 A（ 2， 0， 0）， O1（ 0， 0， 2）， B1（ 2， 3， 2）， E（ 1， 3， 0） . ∴ 1AO =（ 2， 0， 2）， EB1 =（ ? 1， 0， ? 2）， ∴ cos〈 1AO , EB1 〉 = 2 10102 10? ?? ∴ AO1與 B1E 所成角的余弦值為 1010 （ 2）由題意得 DO1 ⊥ AC ， AD ∥ AC ， ∵ C（ 0， 3， 0），設(shè) D（ x,y,0） , ∴ DO1 = (x,y, ? 2), AD = (x ? 2,y,0), AC = (? 2,3,0), ∴ 2 3 0,2,23xyxy? ? ????? ???? 解得18,1312,13xy? ????? ??? ∴ D( 1318 , 1312 ,0 ) ∴ |O1D| = |O1D| = 221 8 1 2 2 2 8 6( ) ( ) 4 ,1 3 1 3 1 3? ? ? 考題賞析 1． (福建高考 ) 如圖所示，在四棱錐 P— ABCD中，側(cè)面 PAD⊥底面 ABCD，側(cè)棱 PA=PD= 2 ，底面 ABCD為直角梯形，其中 BC∥ AD， AB⊥ AD， AD=2AB=2BC=2， O 為 AD 中點(diǎn)． (1)求證： PO⊥平面 ABCD； (2)求異面直線 PB 與 CD 所成角的余弦值； (3)求點(diǎn) A到平面 PCD 的距離． (1)證明 在△ PAD 中， PA=PD， O 為 AD 中點(diǎn)，所以 PO⊥ PAD⊥底面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD=AD， PO? 平面 PAD，所以 PO⊥平面 ABCD. （ 2）解以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， OC 、 OD 、 OP 的方向分別為 x 軸、 y 軸、 z 軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系 O— xyz. 則 A（ 0， ? 1， 0）， B（ 1， ? 1， 0）， C（ 1， 0， 0）， D（ 0， 1， 0）， P（ 0， 0， 1）， 所以 CD =（ ? 1， 1， 0）， PB =（ 1， ? 1， ? 1）， cos〈 PB ， CD 〉 =| |?||PB CDPB CD 1132??? ? 63??, 所以異面直線 PB 與 CD 所成角的余弦值為 63 . (3)解 由 (2)得 CD＝ OB＝ 2， 在 Rt△ POC 中， PC＝ OC2＋ OP2＝ 2， 所以 PC＝ CD＝ DP， S△ PCD＝ 34 2 ＝ 32 . 又 S△ ACD＝ 12ADAB＝ 1，設(shè)點(diǎn) A到平面 PCD的距離為 h，由 VP—ACD＝ VA—PCD，得 13S△ ACDOP＝ 13S△ PCDh， 即 13 1 1＝ 13 32 h，解得 h＝ 2 33 . 2． (四川高考 ) 如圖所示，平面 ABEF⊥平面 ABCD，四邊形 ABEF 與 ABCD 都是直角梯形，∠ BAD=∠FAB=90176。， BC AD， BE FA， G、 H 分別為 FA、 FD 的中點(diǎn)． (1)證明：四邊形 BCHG 是平行四邊形； (2)C、 D、 F、 E 四點(diǎn)是否共面？為什么？ (3)設(shè) AB=BE，證明：平面 ADE⊥平面 CDE. 解 由題設(shè)知， FA、 AB、 AD 兩兩互相垂直． 如圖，以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線 AB 為 x 軸正方向，以射線 AD 為 y 軸正方向，以射線AF 為 z 軸正方向，建立直角坐標(biāo)系 A— xyz. (1)證明 設(shè) AB=a， BC=b， BE=c，則由題設(shè)得 A(0,0,0)， B(a,0,0)， C(a， b,0)， D(
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