新人教a版高中數學選修2-131空間向量及其運算(編輯修改稿)
2024-12-25 22:43 本頁面
【文章內容簡介】 向量 a、 b 共面 ∴ 由平面向量基本定理得：存在一對有序實數對 x， y，使得 p= xa+yb． 充分性：如圖，∵ xa， yb 分別與 a、 b 共線， ∴ xa， yb 都在 a、 b 確定的平面內． 又∵ xa+yb是以｜ xa｜、｜ yb｜為鄰邊的平行四邊形的一條對角線所表示的向量，并且此平行四邊形在 a、 b 確定的平面內， ∴ p= xa+yb 在 a、 b 確定的平面內，即向量 p 與向量 a、 b 共面． 說明：當 p、 a、 b 都是非零向量時，共面向量 定理實際上也是 p、 a、 b 所在的三條直線共面的充要條件，但用于判定時，還需要證明其中一條直線上有一點在另兩條直線所確定的平面內． 6. 共面向量定理的推論是： 空間一點 P在平面 MAB內的充要條件是存在有序實數對 x， y，使得 MP xMA yMB??，① 或對于空間任意一定點 O，有 O P O M x M A y M B? ? ?．② 分析：⑴推論中的 x、 y 是唯一的一對有序實數； ⑵由 OP OM x M A y M B? ? ?得：( ) ( )O P O M x O A O M y O B O M? ? ? ? ?， ∴ (1 )OP x y OM x OA y OB? ? ? ? ? ③ 公式①②③都是 P、 M、 A、 B 四點共面的充要條件． 7. 例題：課本 P95 例 1 ，解略． → 小結：向量方法證明四點共面 三、鞏固練習 1. 練習：課本 P96 練習 3 題 . 2. 作業(yè)：課本 P96 練習 2 題 . 第四課時 空間向量的數量積運算 教學要求 ：掌握空間向量夾角和模的概念及表示方法；掌握兩個向量數量積的概念、性質和計算方法及運算律；掌握兩個向量數量積的主要用途，會用它解決立體幾何中的一些簡單問題 . 教學重點 ： 兩個向量的數量積的計算方法及其應用． 教學難點 ： 向量運算在幾何證明與計算中的應用 ] 教學過程 ： 一、復習引入 ： 2. 平面向量中有兩個平面向量的數量積，與其類似，空間兩個向量也有數量積 . 二、新課講授 1. 兩個非零向量夾角的概念：已知兩個非零向量 a 與 b，在空間中任取一點 O，作 OA ＝ a， OB ＝ b，則∠ AOB叫做向量 a 與 b 的夾角，記作＜ a,b＞． 說明：⑴規(guī)定： 0? ＜ a， b＞ ?? ． 當＜ a、 b＞＝０時， a 與 b同向； 當＜ a、 b＞＝ π 時， a 與 b 反向； 當＜ a、 b＞＝ 2? 時，稱 a 與 b 垂直，記 a⊥ b． ⑵ 兩個向量的夾角唯一確定且＜ a,b＞＝＜ b,a＞． ⑶ 注意：①在兩向量的夾角定義中，兩向量必須是同起點的． ②＜ a,b＞ ? (a,b) 2. 兩個向量的數量積 ： 已知空 間兩個向量 a 與 b， |a||b|cos＜ a、 b＞叫做 向量 a、 b 的數量積 ，記作 a b，即 a b＝ |a||b|cos＜ a,b＞ . 說明：⑴零向量與任一向量的數量積為 0，即 0 a＝０； ⑵符號“ ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“”代替 . 幾何意義：已知向量 AB ＝ a 和軸 l， e 是 l 上和 l 同方向的單位向量．作點 A 在 l 上的射影A′，點 B 在 l 上的射影 B′，則 39。39。AB 叫做 向量 AB 在軸 l 上或在 e 方向上的正射影 ，簡稱 射影 ．可以證明： 39。39。AB ＝｜ AB ｜ cos＜ a,e＞＝ a e．說明：一個向量在軸上的投影的概念，就是 a e 的幾何意義． 3. 空間數量積的性質：根據定義，空間向量的數量積和平面向量的數量積一樣，具有以下性質： ⑴ a e＝｜ a｜ cos＜ a,e＞； ⑵ a⊥ b? a b＝０ ⑶當 a 與 b 同向時， a b＝｜ a｜｜ b｜； 當 a 與 b 反向時， ab＝－｜ a｜ ｜ b｜ . 特別地， aa＝｜ a｜ 2或｜ a｜＝ 2a a a?? . ⑷ cos＜ a,b＞＝ abab??。 ⑸｜ a b｜≤｜ a｜｜ b｜ . 4. 空間向量數量積的運算律 ： 與
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