單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)(編輯修改稿)
2025-07-11 23:40 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 KmKKK???)()(321132KKKmKKK???己知圖中所示的三根彈簧的剛性系數(shù)分別為 K1， K2， K3，振體的質(zhì)量為 m，則此系統(tǒng)沿鉛垂方向振動(dòng)的固有圓頻率為。 （ A） （ B） （ C） （ D） 答案： [A] 習(xí) 題 Theoretical Mechanics 答案： [A] 點(diǎn)評： 由圖知三根彈簧為并聯(lián)關(guān)系。因此，可計(jì)算出三根并聯(lián)彈簧的等效剛性系數(shù)為 K = K1+K2+K3。由彈簧 質(zhì)量系統(tǒng)計(jì)算固有圓頻率的公式，計(jì)算出系統(tǒng)沿鉛垂方向振動(dòng)的固有圓頻率為 mKKK 321 ??要點(diǎn)：串聯(lián)、并聯(lián)彈簧的等效剛性系數(shù)計(jì)算和等效彈簧 質(zhì)量系統(tǒng)。 習(xí) 題 Theoretical Mechanics 返回首頁 習(xí) 題 ?? s in2 gkPT ? 小車 M重 P在斜面 h自高度 h處滑下與緩沖器相撞，斜面傾角為 ?，緩沖彈簧剛性系數(shù)為 k。如緩沖器質(zhì)量不計(jì)，斜面摩擦不計(jì)，小車碰撞后，系統(tǒng)的自由振動(dòng)周期為： （ A） （ B） gkPT ?? s in2?（ C） ?? s in2 gkPT ?（ D） gkPT ?2? （ D） 練 習(xí) Mechanical and Structural Vibration 將一剛度系數(shù)為 k，長為 l的彈簧截成等長（均為 l/2）的兩段，則截?cái)嗪竺扛鶑椈傻膭偠认禂?shù)均為 （ A） k （ B） 2k （ C） k/2 （ D） 1/(2k) 答（ B）。質(zhì)點(diǎn)的直線振動(dòng)；固有頻率 彈簧截成等長（均為 l/2）的兩段后，剛度增大為 2k。 扭轉(zhuǎn)振動(dòng) 等效系統(tǒng) 內(nèi)燃機(jī)的曲軸、輪船的傳動(dòng)軸等，在運(yùn)轉(zhuǎn)中常常產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，簡稱扭振。 扭振系統(tǒng)稱為 扭擺 。 OA 為一鉛直圓軸，圓盤對其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 IO。 在研究扭擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，假定 OA的質(zhì)量略去不計(jì)，圓盤的位置可由圓盤上任一根半徑線和該線的靜止位置之間的夾角 ? 來決定，稱 扭角 。 圓軸的抗扭剛度系數(shù)為 kn，表示使圓盤產(chǎn)生單位扭角所需的力矩。 無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng) Mechanical and Structural Vibration 根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程建立該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 ?? nO ktI ??22dd扭振的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 tpptp nnn s i nc o s00??? ??對于單自由度振動(dòng)系統(tǒng)來說，盡管前述直線振動(dòng)和當(dāng)前扭振的結(jié)構(gòu)形式和振動(dòng)形式均不一樣，但其振動(dòng)規(guī)律、特征是完全相同的。 0dd 222?? ?? nptOnn Ikp ?固有圓頻率 扭轉(zhuǎn)振動(dòng) 無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng) Mechanical and Structural Vibration 圖 (a)所示為扭振系統(tǒng)兩個(gè)軸并聯(lián)的情況；圖 (b)為兩軸串聯(lián)的情況；圖 (c)則為進(jìn)一步簡化的等效系統(tǒng) 。 2121nnnnn kkkkk??并聯(lián)軸系的等效剛度系數(shù) 21 nnn kkk ??串聯(lián)軸系的等效剛度系數(shù) 扭轉(zhuǎn)振動(dòng) 無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng) Mechanical and Structural Vibration 計(jì)算固有頻率的能量法 第 1章單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) Mechanical and Structural Vibration 計(jì)算固有頻率的能量法的理論基礎(chǔ)是機(jī)械能守恒定律。 無阻尼單自由振動(dòng)系統(tǒng)中 ， 勢能與動(dòng)能之和保持不變 。 ??VT 常量 式中 T是動(dòng)能 ， V是勢能 。 如果取平衡位置 O為勢能的零點(diǎn) ， 系統(tǒng)在任一位置 ?????????2221dd21kxVtxmT 計(jì)算固有頻率的能量法 Mechanical and Structural Vibration 當(dāng)系統(tǒng)在平衡位置時(shí)， x=0,速度為最大，勢能為零，動(dòng)能具有最大值 Tmax； 當(dāng)系統(tǒng)在最大偏離位置時(shí)，速度為零，動(dòng)能為零，而勢能具有最大值 Vmax。 由于系統(tǒng)的機(jī)械能守恒 m a xm a x VT ?用能量法計(jì)算固有頻率的公式 計(jì)算固有頻率的能量法 Mechanical and Structural Vibration 例 船舶振動(dòng)記錄儀的原理圖如圖所示。重物 P連同桿 BD對于支點(diǎn) B的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 IE ,求重物 P在鉛直方向的振動(dòng)頻率。已知彈簧 AC的彈簧剛度系數(shù)是 k。 解 ： 這是單自由度的振動(dòng)系統(tǒng)。系統(tǒng)的位置可由桿 BD自水平的平衡位置量起的 角來決定。 ?221 ?BI系統(tǒng)的動(dòng)能 設(shè)系統(tǒng)作簡諧振動(dòng) ， 則其運(yùn)動(dòng)方程 )s i n ( ?? ?? tpn?角速度為 )c o s (dd ??? ???? tppt nn222m a xm a x2121nBB pIIT ??? ?系統(tǒng)的最大動(dòng)能為 計(jì)算固有頻率的能量法 Mechanical and Structural Vibration 如取平衡位置為系統(tǒng)的勢能零點(diǎn) 。 設(shè)在平衡位置時(shí) ， 彈簧的伸長量為 ?st 。 此時(shí) ， 彈性力 Fst=k ?st ,方向向上 。 0)( ?? FBm 0s ?? PlbF t0s ?? Plbk t?該系統(tǒng)的勢能 ??????? )(21])([21 st222st2st PlkbkbPlbkV ????????2221 ?kbV ? 222m a x2m a x 2121 ???? kbkbV ?22222121 ?? kbpInB ?BIkbp 2n ? 計(jì)算固有頻率的能量法 Mechanical and Structural Vibration Theoretical Mechanics 在圖示之振動(dòng)系統(tǒng)中，已知重為 P的 AB桿對 O軸的回轉(zhuǎn)半徑為 ?o，物塊 M重為 Q，兩彈簧的剛性系數(shù)均為 k，當(dāng)系統(tǒng)靜止時(shí)，桿位于水平。則此系統(tǒng)微振動(dòng)時(shí)的圓頻率為： 2)(2baQkga?Pkga 20?220 )( baQPkga???220 )(2baQPkga???（ A） （ B） （ C） （ D） （ D） 習(xí) 題 Theoretical Mechanics 返回首頁 ?? )21( 22 klpllgP ?????? )21( 22 klpllgP ??????? )21( 22 klpllgP ?????? )21( 22 klpllgP ?????小球重 P，剛接于桿的一端，桿的另一端鉸接于 O點(diǎn)。桿長 l，在其中點(diǎn) A的兩邊各連接一剛性系數(shù)為 k的彈簧如圖示。如桿及彈簧的質(zhì)量不計(jì)，小球可視為一質(zhì)點(diǎn)，則系統(tǒng)作微擺動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)微分方程為（ ）。 （ A） （ B） （ C） （ D） 答案： [D] 習(xí) 題 答案： [D] 點(diǎn)評：以小球?yàn)檠芯繉ο?，畫受力圖；以剛桿偏離鉛直位置的轉(zhuǎn)角
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