單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)(存儲(chǔ)版)
【正文】 在靜平衡位置時(shí) ， 它的靜位移 ?st等于每根彈簧的靜變形之和 ， 即 ?st = ?1st + ?2st 由于每根彈簧所受的拉力都等于重力 mg， 故它們的靜變形分別為 1st1 kmg??2st2 kmg??如果用一根彈簧剛度系數(shù)為 k 的彈簧來代替原來的兩根彈簧，此彈簧的靜變形等于 kmg?st? 等效剛度系數(shù) 無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng) Mechanical and Structural Vibration 如果用一根彈簧剛度系數(shù)為 k 的彈簧來代替原來的兩根彈簧，此彈簧的靜變形等于 kmg?st?21111kkk ?? kk kk k? ?1 21 2k稱為串聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù) 1st1 kmg??2st2 kmg??串聯(lián)后的彈簧剛度系數(shù)的倒數(shù)等于各串聯(lián)彈簧剛度系數(shù)倒數(shù)的算術(shù)和 )(π21π212121kkmkkmkf??? 等效剛度系數(shù) 無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng) Mechanical and Structural Vibration 組合彈簧的等效剛度 例 質(zhì)量為 m的物塊懸掛如圖所示。 （ A） （ B） （ C） （ D） 答案： [A] 習(xí) 題 Theoretical Mechanics 答案： [A] 點(diǎn)評(píng)： 由圖知三根彈簧為并聯(lián)關(guān)系。 OA 為一鉛直圓軸，圓盤對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 IO。 如果取平衡位置 O為勢(shì)能的零點(diǎn) ， 系統(tǒng)在任一位置 ?????????2221dd21kxVtxmT 計(jì)算固有頻率的能量法 Mechanical and Structural Vibration 當(dāng)系統(tǒng)在平衡位置時(shí)， x=0,速度為最大，勢(shì)能為零，動(dòng)能具有最大值 Tmax； 當(dāng)系統(tǒng)在最大偏離位置時(shí)，速度為零，動(dòng)能為零，而勢(shì)能具有最大值 Vmax。 此時(shí) ， 彈性力 Fst=k ?st ,方向向上 。 應(yīng)用瑞利法 ， 首先應(yīng)假定系統(tǒng)的振動(dòng)位形 。 它與物體的形狀、尺寸及介質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)，單位是牛頓 由 Mechanical and Structural Vibration 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 具有臨界阻尼的系統(tǒng)與過阻尼系統(tǒng)比較 ， 它為最小阻尼系 統(tǒng) 。 有阻尼的自由振動(dòng)視為準(zhǔn)周期振動(dòng)。如仍以 z =，算得 ,物體每振動(dòng)一次，振幅就減少 27%。寫出運(yùn)動(dòng)微分方程，并求臨界阻尼系數(shù)和阻尼固有頻率的表達(dá)式。 044 ??? kxxcxm ???解：畫車身鉛垂振動(dòng)的受力圖， 坐標(biāo) x的原點(diǎn)為車身的靜平衡位置，車身的運(yùn)動(dòng)微分方程為 練 習(xí) Mechanical and Structural Vibration 044 ??? kxxcxm ???dnTAA 231 e?,2121 ?????? ???AAAA由已知條件和定義，得： 取對(duì)數(shù)得， dnTAA 2ln31 ? ?＝ 2 1π2,π211,222st????????????z??z??ndn Tgs / ,s/14 5 ????? ncdmcTn ??例 題 簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) Mechanical and Structural Vibration 一個(gè)有阻尼的彈簧 質(zhì)量系統(tǒng)，質(zhì)量為 10 kg，彈簧靜伸長(zhǎng)是 1cm，自由振動(dòng) 20個(gè)循環(huán)后，振幅從 cm減至 ，求阻尼系數(shù) c。當(dāng)材料的阻尼比 z1時(shí)，可近似認(rèn)為有阻尼自由振動(dòng)的周期與無阻尼自由振動(dòng)的周期相等。衰減運(yùn)動(dòng)的頻率為 p d， 衰減速度取決于 zp n， 二者分別為本征值的虛部和實(shí)部。 設(shè) cc為臨界阻尼系數(shù) ， 由于 z =n/pn =1， 即 kmmpnmc nc 222 ???z 阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)的比值，是 z 稱為阻尼比的原因。 瑞利法 Mechanical and Structural Vibration 彈簧的總動(dòng)能 2ss0s dd321dtxmTT l ?? ?2s2s2dd321dd321dd21txmmtxmtxmT ?????? ????系統(tǒng)的總動(dòng)能為 seq 31 mm ?系統(tǒng)的勢(shì)能為 221 kxV ?固有頻率為 3sn mmkp??)c o s ( n ??? tpAx設(shè) m a xm a x VT ?l ? d? 瑞利法 Mechanical and Structural Vibration 有阻尼系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 第 1章單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) Mechanical and Structural Vibration 阻尼 －系統(tǒng)中存在的各種阻力：干摩擦力，潤(rùn)滑 表面阻力，液體或氣體等介質(zhì)的阻力、材料內(nèi)部的 阻力。利用動(dòng)量矩定理，建立小球繞 O點(diǎn)作微擺動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)微分方程為 Theoretical Mechanics 返回首頁 ??? )21( 22 klpllgP ?????要點(diǎn)：利用普遍定理建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。 ?221 ?BI系統(tǒng)的動(dòng)能 設(shè)系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng) ， 則其運(yùn)動(dòng)方程 )s i n ( ?? ?? tpn?角速度為 )c o s (dd ??? ???? tppt nn222m a xm a x2121nBB pIIT ??? ?系統(tǒng)的最大動(dòng)能為 計(jì)算固有頻率的能量法 Mechanical and Structural Vibration 如取平衡位置為系統(tǒng)的勢(shì)能零點(diǎn) 。 無阻尼單自由振動(dòng)系統(tǒng)中 ， 勢(shì)能與動(dòng)能之和保持不變 。 扭轉(zhuǎn)振動(dòng) 等效系統(tǒng) 內(nèi)燃機(jī)的曲軸、輪船的傳動(dòng)軸等，在運(yùn)轉(zhuǎn)中常常產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，簡(jiǎn)稱扭振。 stπ21?gf ? 等效剛度系數(shù) 無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng) 解 ：當(dāng)梁的質(zhì)量可以略去不計(jì)時(shí)，梁可以用一根彈簧來代替，于是這個(gè)系統(tǒng)簡(jiǎn)化成彈簧 — 質(zhì)量系統(tǒng)。 系統(tǒng)的固有頻率 mkkmkf 21π21π21 ??? 等效剛度系數(shù) 無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng) Mechanical and Structural Vibration （ 2）串聯(lián)情況。需要在這一坐標(biāo)方向施位移，廣義坐標(biāo)方向產(chǎn)生單位－等效剛度：使系統(tǒng)在eqk向施加的力或力矩。 振動(dòng)概述 機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動(dòng) Mechanical and Structural Vibration 第 1章單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 目錄 Mechanical and Structural Vibration 無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng) 計(jì)算固有頻率的能量法 瑞利法 有阻尼系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng) Mechanical and St
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