單自由度系統(tǒng)的自由振動-文庫吧
2025-05-30 23:40 本頁面
【正文】 度系數(shù) 單自由度線性系統(tǒng)無阻尼自由振動微分方程 0dd eq22eq ＝qktqm ?等效的概念 這一方程，可以等效為廣義坐標的形式 0dd 22＝kxt xm ?加的力或力矩。需要在這一坐標方向施位移，廣義坐標方向產(chǎn)生單位－等效剛度：使系統(tǒng)在eqk向施加的力或力矩。度，需要在這一坐標方加速廣義坐標方向產(chǎn)生單位－等效質(zhì)量：使系統(tǒng)在eqmMechanical and Structural Vibration 無阻尼系統(tǒng)的自由振動 0dd eq22eq ＝qktqm ? 0dd22＝qpt q n?tpCtpCq nn c o sc o s 21 ?＝ ? ???tpAq ns in＝－初始速度。－初始廣義坐標；－振動的位相；振動的振幅；－系統(tǒng)的固有頻率；＝0000n2020eqeqa r c t a n vqqqppvqAmkpnn??????????????等效的概念 等效剛度系數(shù) Mechanical and Structural Vibration 無阻尼系統(tǒng)的自由振動 串聯(lián)彈簧與并聯(lián)彈簧的等效剛度 例 在圖中，已知物塊的質(zhì)量為 m，彈簧的彈簧剛度系數(shù)分別為 kk2，分別求并聯(lián)彈簧與串聯(lián)彈簧直線振動系統(tǒng)的固有頻率。 解：（ 1）并聯(lián)情況。彈簧并聯(lián)的特征是： 二彈簧變形相等 。 振動過程中，物塊始終作平行移動。處于平衡位置時，兩根彈簧的靜變形都是?st，而彈性力分別是 st11 ?kF ? st22 ?kF ?系統(tǒng)平衡方程是 0?? xFst2121 )( ?kkFFmg ???? 等效剛度系數(shù) Mechanical and Structural Vibration 無阻尼系統(tǒng)的自由振動 如果用一根彈簧剛度系數(shù)為 k的彈簧來代替原來的兩根彈簧 ，使該彈簧的靜變形與原來兩根彈簧所產(chǎn)生的靜變形相等 ， 則 st?kmg ?21 kkk ??st2121 )( ?kkFFmg ????k稱為 并聯(lián)彈簧的等效 剛度系數(shù)。 并聯(lián)后的等效彈簧剛度系數(shù)是各并聯(lián)彈簧剛度系數(shù)的算術(shù)和。 系統(tǒng)的固有頻率 mkkmkf 21π21π21 ??? 等效剛度系數(shù) 無阻尼系統(tǒng)的自由振動 Mechanical and Structural Vibration （ 2）串聯(lián)情況。串聯(lián)彈簧的特征是： 二 彈簧受力相等 。 當(dāng)物塊在靜平衡位置時 ， 它的靜位移 ?st等于每根彈簧的靜變形之和 ， 即 ?st = ?1st + ?2st 由于每根彈簧所受的拉力都等于重力 mg， 故它們的靜變形分別為 1st1 kmg??2st2 kmg??如果用一根彈簧剛度系數(shù)為 k 的彈簧來代替原來的兩根彈簧，此彈簧的靜變形等于 kmg?st? 等效剛度系數(shù) 無阻尼系統(tǒng)的自由振動 Mechanical and Structural Vibration 如果用一根彈簧剛度系數(shù)為 k 的彈簧來代替原來的兩根彈簧，此彈簧的靜變形等于 kmg?st?21111kkk ?? kk kk k? ?1 21 2k稱為串聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù) 1st1 kmg??2st2 kmg??串聯(lián)后的彈簧剛度系數(shù)的倒數(shù)等于各串聯(lián)彈簧剛度系數(shù)倒數(shù)的算術(shù)和 )(π21π212121kkmkkmkf??? 等效剛度系數(shù) 無阻尼系統(tǒng)的自由振動 Mechanical and Structural Vibration 組合彈簧的等效剛度 例 質(zhì)量為 m的物塊懸掛如圖所示。設(shè)桿 AB的質(zhì)量不計，兩彈簧的彈簧剛度系數(shù)分別為 k1和 k2,又 AC=a， AB=b，求物塊的自由振動頻率。 解 ：將各彈簧的剛度系數(shù)按靜力等效的原則，折算到質(zhì)量所在處。 先將剛度系數(shù) k2換算至質(zhì)量 m所在處 C的等效剛度系數(shù) k?。 C 等效剛度系數(shù) 無阻尼系統(tǒng)的自由振動 Mechanical and Structural Vibration 先將剛度系數(shù) k2換算至質(zhì)量 m所在處 C的等效剛度系數(shù) k?。 C 設(shè)在 C處作用一力 F，按靜力平衡的關(guān)系，作用在 B處的力為 bFa?此力使 B 彈簧 k2 產(chǎn)生 變形， 222bkFabac ?? ??而此變形使 C點發(fā)生的變形為 得到作用在 C處而與 k2彈簧等效的剛度系數(shù) 222 abkFkc??? ? 等效剛度系數(shù) 無阻尼系統(tǒng)的自由振動 Mechanical and Structural Vibration C 222 abkFkc??? ?物塊的自由振動頻率為 )( 221221kbkamkkbmkpn ???與彈簧 k1串聯(lián) 221222122212221kbkabkkabkkabkkk????得系統(tǒng)的等效剛度系數(shù) 等效剛度系數(shù) 無阻尼系統(tǒng)的自由振動 Mechanical and Structural Vibration 彈性梁的等效剛度 例 一個質(zhì)量為 m的物塊從 h 的高處自由落下，與一根抗彎剛度為 EI、長為的簡支梁作塑性碰撞，不計梁的質(zhì)量，求該系統(tǒng)自由振動的頻率、振幅和最大撓度。 stπ21?gf ? 等效剛度系數(shù) 無阻尼系統(tǒng)的自由振動 解 ：當(dāng)梁的質(zhì)量可以略去不計時，梁可以用一根彈簧來代替，于是這個系統(tǒng)簡化成彈簧 — 質(zhì)量系統(tǒng)。如果知道系統(tǒng)的靜變形 則求出系統(tǒng)的固有頻率 st?Mechanical and Structural Vibration 由材料力學(xué)可知 ， 簡支梁受集中載荷作用 ， 其中點靜撓度為 EIm gl483st ??求出系統(tǒng)的固有頻率為 348π21mlEIf ?中央受集中載荷的簡支梁的等效彈簧剛度系數(shù)為 348lEIk ? 等效剛度系數(shù) 無阻尼系統(tǒng)的自由振動 Mechanical and Structural Vibration 以梁承受重物時的靜平衡位置為坐標原點 O， 建立坐標系 ， 并以撞擊時刻為零瞬時 ， 則 t=0時 ， 有 st0 ???x ghv 20 ?自由振動的振幅為 st2st2020 2)( ?? hpvxAn????)9611(482 33stst2ststm a x m g lE I hEIm g lhA ???????? ?????梁的最大撓度 等效剛度系數(shù) 無阻尼系統(tǒng)的自由振動 Mechanical and Structural Vibration Theoretical Mechanics 返回首頁 mKKK 321 ??)()(321321 KKKm KKK ???)()(321231KK
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