【正文】 能量守恒是普遍規(guī)律，能量方法是普遍方法 例 如圖 25所示系統(tǒng)，繩索一端接一質(zhì)量，另一端繞過一轉(zhuǎn)動慣量為 I的滑輪與彈簧相接，彈簧的另一端固定。設(shè)繩索無伸長，繩索與滑輪之間無滑動。此時系統(tǒng)可視為單自由度系統(tǒng)，求系統(tǒng)的固有頻率。 圖 25 坐標(biāo)有兩種取法： 滑輪轉(zhuǎn)角 θ 質(zhì)量位移 x 坐標(biāo)取法： 滑輪轉(zhuǎn)角 θ 利用能量守恒原理是求解微分方程的重要手段 例題： 如圖所示系統(tǒng)，繩索一端接一質(zhì)量，另一端繞過一轉(zhuǎn)動慣量為 I的滑輪與彈簧相接，彈簧的另一端固定。設(shè)繩索無伸長，繩索與滑輪之間無滑動。此時系統(tǒng)可視為單自由度系統(tǒng)，求系統(tǒng)的固有頻率。 系統(tǒng)的勢能為 o x 2222121)(21 ??????? kkxm gxxkU解： 原點取在靜平衡位置，彈簧的相對伸長為 x ，滑輪 沿順時針方向轉(zhuǎn)過一個角度 x/r 系統(tǒng)的動能包括滑輪的轉(zhuǎn)動動能和質(zhì)量的平動動能 239。2239。239。 )(2121)(21 xmrImxrxIEt ????0)( ?? UEd t由 0)/( 2 ??? kxxmrI222mrIkrn ???與書上的結(jié)果比較：注意勢能的計算，可以不計重力勢能 ，只相差一個常數(shù)，不影響計算結(jié)果 坐標(biāo)取法： 質(zhì)量位移 x 兩種坐標(biāo)取法計算的該系統(tǒng)的固有頻率的結(jié)果是一樣的。 可見： 系統(tǒng)的固有頻率與所選取的坐標(biāo)系無關(guān)。 上題如果用靜態(tài)位移法求解，將涉及未知的繩與滑輪的靡擦力，因而無法計算靜態(tài)位移。因此能量法對有約束力但約束力不做功的情況更為適用。 討論： ? 離散系統(tǒng)建模約定：質(zhì)量集中在慣性元件上，彈性元件無質(zhì)量； ? 實際上，沒有無質(zhì)量的彈性元件，當(dāng)彈性元件質(zhì)量所占比例較大時，不能忽略。 ? 能量等效方法求有效質(zhì)量：把動能集總到慣性元件上。 ? 彈性元件的質(zhì)量是分布的，需要適當(dāng)?shù)丶俣ㄋ俣确植家?guī)律：速度分布與位移分布有相同的形式。 ? 動能意義上的質(zhì)量為等效質(zhì)量；勢能意義上的剛度為等效剛度。 例 如圖 2— 6所示系統(tǒng)，在考慮彈簧質(zhì)量的條件下求系統(tǒng)的固有頻率。 把彈簧分布質(zhì)量集總到慣性元件上 方法： 動能等效 附加質(zhì)量 等效質(zhì)量 通常稱系統(tǒng)在動能意義下的質(zhì)量為系統(tǒng)的 等效質(zhì)量 。注意它并不一定等于系統(tǒng)慣性元件的質(zhì)量加上其他元件的質(zhì)量。同樣可以定義 等效剛度 ，它是指在勢能意義下的剛度。 圖 2— 7 把兩個彈簧剛度集總成一個彈簧 方法： 勢能等效 167。 阻尼自由振動 ? 振動系統(tǒng)的無阻尼振動是對實際問題的理論抽象。 ? 阻尼是用來度量系統(tǒng)自身消耗振動能量的能力的物理量。產(chǎn)生阻尼的原因是多種多樣的，有些阻尼的機理至今尚不清楚。由于線性系統(tǒng)本身就是對實際問題的近似，因而對阻尼往往也作線性化處理。 ? 在理論分析中最常用的阻尼是氣體和液體的粘性阻尼。 ? 在線性振動理論中規(guī)定，由粘性阻尼引起的粘性阻尼力的大小與相對速度成正比，方向與速度方向相反。阻尼系數(shù) c為常數(shù)。用產(chǎn)生粘性阻尼力的阻尼器作為離散系統(tǒng)的主要元件之一。 單自由度系統(tǒng)阻尼自由振動的模型如圖 2— 8所示。 圖 2— 8 圖 2— 10 圖 2— 10 圖 2— 10 阻尼對頻率影響很 小 對振幅影響很 大 大阻尼系統(tǒng)衰減快； 高頻成分衰減快。 阻尼減振方法 一種求阻尼比的方法： 圖 2— 11 圖 2— 12 ??????2,2 ??實際系統(tǒng)的阻尼比范圍 167。 單自由度系統(tǒng)的簡諧強迫振動 ? 簡諧強迫振動指激勵是時間簡諧函數(shù)，它在工程結(jié)構(gòu)的振動中經(jīng)常發(fā)生，它通常是由旋轉(zhuǎn)機械失衡造成的。 ? 簡諧強迫振動的理論是分析周期激勵以及非周期激勵下系統(tǒng)響應(yīng)的基礎(chǔ)。 ? 利用可以產(chǎn)生簡諧激勵的激振器激勵被測結(jié)構(gòu)以分析其振動特性的方法，即所謂正弦激勵方法，是測試系統(tǒng)振動特性最常用的方法之一。 系統(tǒng)在簡諧激勵下的響應(yīng) 典型的受簡諧激勵的單自由度系統(tǒng)示于圖 2— 13。 圖 2— 13 簡諧強迫激勵項 靜力轉(zhuǎn)化為靜位移 簡諧強迫振動運動微分方程 圖 2— 14 通解 —— 瞬態(tài)響應(yīng) 特解 —— 穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 全解 —— 兩者疊加： 前段：瞬態(tài)占優(yōu)； 后段：穩(wěn)態(tài)占優(yōu)； 最后：瞬態(tài)消失，穩(wěn)態(tài)主導(dǎo)。 求特解的過程 求振幅、相角和表達(dá)式 圖 2— 14 從波形圖可以看出： 求通解的過程 全解 通解 特解 通解 衰減因子 全解 =瞬態(tài)響應(yīng) +穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 瞬態(tài)響應(yīng)曇花一現(xiàn)，不勞多談； 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)主導(dǎo)江山，集中研判！ 今后，只研究穩(wěn)態(tài)響應(yīng)項。 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)項的規(guī)律 要命的是頻率（比）！ 復(fù)頻率響應(yīng) 幅頻特性與相頻特性 ? 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值和相角是激勵頻率的非線性函數(shù) ，在理論分析和實際工作中常引進復(fù)頻率響應(yīng)來描述 激勵頻率對響應(yīng)的影響 。 ? 簡諧運動可用復(fù)數(shù)表示，因而穩(wěn)態(tài)振動也可用復(fù)數(shù)表示，設(shè)有下面兩個方程： 用復(fù)數(shù)表示的目的是為了求解方便，所求的響應(yīng)解職是取其對應(yīng)的其中一部，本教材通常取實部。 復(fù)數(shù) 實數(shù) 穩(wěn)態(tài)響應(yīng) —— 復(fù)數(shù) 響應(yīng)振幅 —— 實數(shù) 響應(yīng)：激勵（對應(yīng)物理量之比） 要命的是頻率（比）！ 圖 2— 15 圖 2— 15 熟記三個特殊點就等于掌握三個區(qū)域的規(guī)律 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振動時，慣性力、彈性力、阻尼力都是與激勵同頻率的簡諧量，分別為： 頻率比所處區(qū)域不同，與激勵構(gòu)成動平衡的力的種類不同 圖 2— 16 222 )/2(])/(1[1)(nnH ?????? ???0 彈性控制區(qū) 圖 2— 16 222 )/2(])/(1[1)(nnH ?????? ???慣性控制區(qū) 圖 2— 16 222 )/2(])/(1[1)(nnH ?????? ???阻尼控制區(qū) P?Ao共振頻率 0?大阻尼 小阻尼 阻尼 0?共振演示實驗 2 3 6