【正文】 YPtPtt????? ? ??如圖4 ，已知結(jié)構(gòu)的兩個(gè)自振圓頻率分別為 、 ，結(jié)構(gòu)的第一主振型與第二主振型分別為 、試求結(jié)構(gòu)在突加載荷當(dāng)當(dāng) 作用下的位移和彎矩。解： .5（1 ）利用式（4 5 ）建立正則坐標(biāo)變換? ?11221111uqu Y q? ? ? ???? ? ????? ?? ???? ? ? ?( 2 )求廣義質(zhì)量.5由式（4 2 ）得? ?? ?1 1 12 2 2011 1 201011 1 201TTmM Y M Y mmmM Y M Y mm? ? ? ?? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??????? ? ? ?( 3 )求廣義荷載? ?? ?11 1 112 2 1()( ) ( ) 1 1 ( )0()( ) ( ) 1 1 ( )0TTPtF T Y P t P tPtF T Y P t P t??? ? ???????? ? ? ?????( 4 )求正則坐標(biāo)4 . 7 6由式（ ），得1 1 111 01= ( ) s i n ( )tq P t dM ? ? ? ??? ??11 1 121 1 1 101 s i n ( ) ( 1 c o s )22t PP t d tmm ? ? ? ???? ? ? ??12222= ( 1 c o s )2 Pqtm ?? ?( 5 )求質(zhì)點(diǎn)位移根據(jù)坐標(biāo)變換，得1 1 2( ) 1 . 0 ( ) 1 . 0 ( )u t q t q t??1112221 1 2( 1 c o s ) ( 1 c o s )22PP ttmm ????? ? ? ?2 1 2( ) 1 . 0 ( ) 1 . 0 ( )u t q t q t??1112221 1 2( 1 c o s ) ( 1 c o s )22PP ttmm????? ? ? ?(6 )求彎矩()iQ t i t設(shè) 表示質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻 所受的荷載和慣性力之和，則有11 1 1 1 1 212 1 2 1 2( ) = ( ) ( c os c os )2( ) = ( ) 0 ( c os c os )2PQ t P m u t P t tPQ t P m u t t t????????12則質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn) 處截面的彎矩為：1 2 11 1 21 2 12 1 22 ( ) ( ) 1( ) ( 1 c o s ) ( 1 c o s )3 3 6 3( ) 2 ( ) 1( ) ( 1 c o s ) ( 1 c o s )3 3 6 3Q t Q t P llM t t tQ t Q t P llM t t t????? ??? ? ? ? ? ?????? ??? ? ? ? ? ?????4 . 4 動(dòng)力特性的實(shí)用計(jì)算方法4 . 4 . 1 k e rD u m le y 公式k e rD u m le y在動(dòng)力分析中對(duì)體系的基頻迅速做出估計(jì)是很重要的，所以，在此，先介紹估算第一頻率的 公式.以三個(gè)自由度體系為例，按柔度法建立的體系特征方程是 1 2 321 2 321 2 3 21101m m mm m mm m m? ? ??? ? ??? ? ??????????????????11 12 1321 22 2331 32 33（ ） 21ij? ?式中， 為體系的柔度系數(shù)。它的展開(kāi)式是關(guān)于 的三次代數(shù)方程321 2 32211 ( + + ) 0m m m? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1 1 2 2 3 3（ ） 2221 2 3111???設(shè)方程的三個(gè)根為 、 、 ，則寫成方程的形式如下2 2 2 2 2 21 2 31 1 1 1 1 1 = 0? ? ? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ??（ ） 展開(kāi)后，有322 2 2 2 21 2 31 1 1 1 1 + + 0? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???（ ） . 8 . 8比較式（4 2 ）和式（4 0 ），有1 2 32221 2 3111+ + = + +m m m? ? ???? 1 1 2 2 3 3（ ） 222311??由于工程實(shí)際中的高頻部分較基頻高的多，所以，忽略上式左端的高階頻 、 后，可以得到關(guān)于體系第一頻率的近似公式。1 2 3211 ++m m m? ? ?? ? 1 1 2 2 3 3（ ） k e r k e rD u m l e y n D u m l e y它就是 給出的基頻計(jì)算公式，對(duì)于 個(gè)自由度體系公式的一般形式為2111 nii iim?? ?? ?（ ） 21ii i i ii iim m k????由于 ，所以上式又可寫成221111ni ii???? ?（ ） k e rk e riD u m le ym D u m le y????11動(dòng)力分析中常常要求在改變體系的質(zhì)量、剛度參數(shù)時(shí)，對(duì)系統(tǒng)的基頻做出迅速的估算， 公式對(duì)此可以方便的計(jì)算。設(shè)原多自由度體系的基頻為 ，各質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量的增量為 ，則按 公式質(zhì)量增加后體系的基頻 為221 1 1 111+ = + =n n n ni i i i i i i i i i i i ii i i im m m m m? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?（）（ ） 4 .8 4 k e rk e rk e rk e rD u m le yD u m le yD u m le yD u m le y由式（ ）可知， 公式是在左端略去高頻項(xiàng)得到的，因而他給出的基頻降低于實(shí)際值；另外，體系的高頻與基頻相差越大， 公式給出的結(jié)果也就越精確，反之，體系的高頻與基頻越接近， 公式的誤差也就越大，所以， 公式對(duì)于有密集頻譜的肋板、連續(xù)梁和板等結(jié)構(gòu)的計(jì)算精度較差。1 2 3. 4 . 1 , k e r3mlm m m D u m l e y? ? ?例4 對(duì)于圖4 0 所示的簡(jiǎn)支梁，如果 試用 公式求體系的基頻。3325 81= = , ,388 8 388 8llE I E I? ? ? ?11 33 22解:按 圖乘法求得體系的柔度系數(shù) 代入公式（ ），有33211 25 812+38 88 3 38 88 3l m l l m lE I E I?? ? ? ?229 . 4 5 9 . 8 6, 4 . 1 5 %E I E Il m l m????11解之，得 較精確解 的誤差為 。12 4 41.5 .1 592 00 , 500 00 ,= 3 10 / , 10 / ,= 6 200 00m N m Nm k N m k NmN????? ? ?11 221例4如圖4 1所 示，已知不等高單層廠房柔度系數(shù) 另外，已經(jīng)求出此廠房的基頻 （1 s), 如果廠房的質(zhì)量 增加了 ，試估計(jì)質(zhì)量變化后廠房的基頻。.8解：按式（4 7 ），有32 2 21111 1 1= + 2 2 . 1 3 1 05 . 1 6ni i iim????? ? ? ? ?? ?111 4. 90 , .9 , 1%ss? ??? ?解之，得 參數(shù)變化后的精確解為4 5 估算的誤差為 。. 4 . 2 R a y l e i g h4 能量法m a xm a x00UW根據(jù)能量守恒定律，如果忽視體系在振動(dòng)過(guò)程中的能量散失，例如不計(jì)阻尼作用，則在任何時(shí)刻，系統(tǒng)的位能與動(dòng)能之和將保持一個(gè)常數(shù)。由于體系在靜力平衡位置時(shí)的位能為零，因此，此時(shí)體系的動(dòng)能最大，記為 ；同理，當(dāng)體系達(dá)到最大位移時(shí)，由于此時(shí)速度為 ，因而動(dòng)能為 ，所以全部能量均變?yōu)槲荒?，記?。由能量守恒可知。m a x m a x=UW（ ） 4 . 1 2設(shè)如圖 所示的分布質(zhì)量體系中任一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為( , ) ( ) s i n ( )y x t Y x t????（ ） ( , ) ( ) c o s ( )y x t Y x t? ? ???（ ） 振型 由此得體系振動(dòng)時(shí)的動(dòng)能為2 2 2 20011 ( ) ( , ) c o s ( ) ( ) ( )22llU m x y x t d x t m x Y x d x? ? ?? ? ???（ ） c o s ( ) = 1t?? ?當(dāng) 時(shí)，體系動(dòng)能最大，即22m a x 01= ( ) ( )2lU m x Y x d x? ? （ ） 僅考慮彎曲變形時(shí)，體系的應(yīng)變能為2222222001 ( , ) 1 ( )= ( ) si n ( ) ( )22ll y x t d y xW EI x dx t EI x dxx dx??? ? ? ?? ??? ? ? ??? ? ? ???（ ） 同理，有22m a x 201 ( )= ( )2l d y xW EI x dxdx???????（ ） （ ）、（ ） 代入 m a x m a x=UW（ ） 2220220()()=( ) ( )lld y xE I x d xdxm x Y x d x?????????（ ） ( ) ( 1 , 2 , , ). 1 . 9()im x n m i nmx? ? ? ?如果體系除了分布質(zhì)量 外，還有 個(gè)集中質(zhì)量（圖4 3 ），這時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能除了式（4 1 ）所表示了分布質(zhì)量的動(dòng)能外，還應(yīng)包括集中質(zhì)量的動(dòng)能，即220 111( ) ( , ) + ( , )22nliiiU m x y x t d x m y x t?? ??（ ） 那么，此時(shí)體系的最大動(dòng)能則為2 2 2 2m a x 0111 ( ) ( ) + ( )22nliiiU m x Y x d x m Y x???? ??（ ） .9這樣，式（4 5 ）將改為：? ? 22 02201( ) ( )=( ) ( ) ( )lnliiiE I x Y x d xm x Y x d x m Y x????????（ ） ()( ) ()R a y le igh R a y le ighm x gYx法僅用來(lái)計(jì)算基本頻率，因此，為了求第一頻率，建議：可以用作用于體系上的自重荷載 在振動(dòng)方向上產(chǎn)生的靜位移當(dāng)做第一陣型 注意：如果考慮水平振動(dòng)，則重力應(yīng)沿水平方向作用，這樣它的做功可表示為：01 ( ) ( )2lW m x g Y x d x? ? （ ） 4 . 9 8因此，對(duì)于既有分布質(zhì)量又有集中質(zhì)量的結(jié)構(gòu)體系，式（）改寫：02 12201( ) ( ) + ( )=( ) ( ) ( )nliiinliiim x gY x dx m g Y xm x Y x dx m Y x? ???????（ ） ()qx當(dāng)然，也可以取結(jié)構(gòu)在某一靜荷載 作用下所產(chǎn)生的彈性曲線作為振型曲線的近似表達(dá)式，這樣，上式又可改寫為：2 02201( ) ( )=( ) ( ) ( )lnliiiq x Y x d xm x Y x d x m Y x??????（ ） .6 E I m例4 試用能量法求等截面簡(jiǎn)支梁（ 為常數(shù)，分布質(zhì)量為 ）的第一頻率。解：()Yx（1 ）假設(shè)等截面簡(jiǎn)支梁的一階振型曲線 為一拋物線24( ) = ( )axY x l xl ?0 ( 0 ) = 0 ( ) = 0x Y x l Y l??當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ，可見(jiàn)此拋物線滿足邊界條件，又有2228d Y adx l??4 .9 8由式（ ）得? ?2223202 02 220 208( ) ( ) 64= = =8 1 54( ) ( )()l