【正文】 7 0 .0 0 0 7()0 .0 0 0 7 2 .8 8 4 9TTMmKk???????? ???????? ????22R i t z K M? 2再次歸結(jié)為 特征值問(wèn)題。1 2 34 . 1 0 1 , 1 ,m m m k? ? ? ?例 已知 樓層側(cè)移剛度均為 利用子空間迭代法求前兩階振型。1 2 1piipY Y Y XY???注意： 如果只對(duì) 維子空間向量進(jìn)行迭代而不進(jìn)行正交化處理，則， ， ， 最終都收斂于一階振型 ，所以，迭代過(guò)程中必須對(duì)其做質(zhì)量矩陣M 的正交化處理，使 逼近X 。子空間迭代法一次可求矩陣的前幾個(gè)最大的特征值及特征向量。R it z實(shí)質(zhì)就是對(duì)一組試驗(yàn)向量反復(fù)的使用 法和矩陣迭代法。解：11, , ,X M K ??由于已知 ， ，故有? ?112550 0 0 0. 6870= 0. 6870 462 0 2540 0 4620 0 560 TX MX? ? ? ???????????? ? ? ?= 4 0 3 7 .6 0? ?110. 68 70 25 50 0 0= 46 2 0. 68 70 46 2 00 0 25 40 0 00 0 0 56 0TX X M? ? ? ??? ?????? ??? ? ? ?3 03 5 51 1 84 7= 57 6 74 0 29 9 10 51 9 03 3 60 0???? ???311 03 5 51 1 84 71 57 6 74 0 29 9 10 / 40 37 .601 51 9 03 3 60 0S? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?0 .7 0 1 9 0 .4 0 8 9 0 .0 9 5 30 .4 1 0 5 0 .4 3 6 8 0 .1 3 1 20 .4 3 3 9 0 .5 9 5 2 0 .8 6 1 3??????? ? ?????511 133 716 308 133 562 463 10 133 562 900S?? ?????? ? ???0. 70 19 0. 40 89 0. 09 530. 41 05 0. 43 68 0. 13 120. 43 39 0. 59 52 0. 86 13??????? ? ?????3 28 4 91 2 73 1 95 4 68 3 08 1 10 90 7 36 8 78 0???????? ? ? ?????? ?021= ??設(shè)二階振型的初始近似值為 ，再按例 的矩陣迭代法進(jìn)行迭代，其中 取 。也就是說(shuō)，用矩陣迭代法求體系的第一頻率時(shí)可按式（4 1 3 ）（4 1 6 ）的過(guò)程進(jìn)行；而高階頻率時(shí)，則用 代替式（4 13） 中的 ，然后進(jìn)行矩陣迭代即可。所以用迭代法求體系第階頻率或振型的 具體方法如下：? ? TiiX X M將振型向量 的線性組合兩邊左乘 ，并利用振型的正交性，有0 11= + +T T T Ti i i i i n i nX M X X M X X M X X M X? ? ?? ??? ? ???= Ti i iX M X?故有0=Tii TiiX M XX M X?01rj j jjrXX ???? ?為了在假設(shè)的振型中消除前面的階振型分量，可取初始迭代向量為 ，將 代入，則有00 0 011==Trrjj j j rTjj jjX MXX X X X S XX MX???????1=Trjrj Tj jjXMS E XX MX??? ?式中， 為清型矩陣。但是要做到這一點(diǎn)，必須對(duì)假定的迭代向量做適當(dāng)?shù)奶幚恚礊榱舜_定第二振型，必須在假定的迭代向量中消除第一振型的影響；在確定第三振型時(shí)，則消除第一和第二振型的影響，以此類(lèi)推。所以一階振型的近似解為? ?1 0. 687 0 462 00 TX ??.1故按式（4 1 2 ），有50. 6870 133 716 308 0. 6870 462 = 133 562 463 10 462 133 562 900 ??? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?21注意到上式為3個(gè) 獨(dú)立的方程，可按其中任一式求解，如按第3個(gè) 方程，則有? ? 51 . 0 = 4 6 9 . 6 1 3 3 0 . 6 8 7 0 +7 4 9 . 0 5 6 2 0 . 9 4 6 2 + 2 3 3 . 1 9 0 1 1 0? ?? ? ? ? ?21故得1 = 9 /rad s?1( 2 ).1 X下面證明用迭代法求出的頻率和振型就是體系第一頻率及相應(yīng)的振型由式（4 14）可 知：經(jīng)過(guò)兩次迭代后，振型向量 （下標(biāo)表示迭代次數(shù)）為1 1 0 0( 2 ) ( 1 )==X X X X? ? ? ? 2（ ）=k同理，通過(guò) 次迭代后1 1 0 0() = kkkX X X? ? ??（ ）=0 iXX由于所假定的 可表示為體系真實(shí)振型向量 的線性組合0 1 1 2 2= nnX X X X? ? ?? ? ??? ?ii Xi?式中， 為常數(shù)， 為體系的第階振型。因此此時(shí)，所以要進(jìn)行第二次迭代。5.8255 0 0 0 14. 46 9. 03 00 254 0 0 , 9. 03 17. 26 8. 23 10 /0 0 560 0 8. 23 8. 23MKM t K k N m??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?例4 某 三個(gè)自由度體系，其質(zhì)量矩陣 和剛度矩陣 分別為試用矩陣迭代法解結(jié)構(gòu)的一階頻率和振型。對(duì) 于 多 自 由 度 體 系 其 自 由 振 動(dòng) 方 程 可 表 示 為2K X M X??（ ） 121 K??上式兩端同時(shí)左乘121 X K M X???（ ） 121== KM????令 ， ，上式為XX??? （ ） 0X現(xiàn)假定 是第一振型的第一次近似解，并進(jìn)行了歸一化處理（即其中某一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，通常為第一個(gè)或第n個(gè)的振幅為1 ），代入上式左邊，并令10XX??（ ） 0X如果 是第一振型的真實(shí)解，則必有10XX??（ ） 如果不滿足上式，再令01=XX（ ） 重復(fù)此迭代過(guò)程，直到相鄰兩次的迭代結(jié)果相近。4 . 7 . 1R it z例 利用 法求等截面懸臂梁的自振頻率（圖4 4 ）解：設(shè)近似振型為2212( ) 1 1x x xY x a al l l? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?.1 i j i jkm利用式（4 0 6 ）求得常數(shù) 與 如下：? ? ? ?3333425 3 0,243 0 1 0 5E I E I m l m lllKME I E I m l m lll?? ????? ???? ???? ?????????2233223342 5 30=024 30 105EI m l EI m lllEI m l EI m lll????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 2 4 2 2 3 20 . 7 9 4 9 7 2 1 2 0 0 0 ( ) 0m l E I m l E I l?? ??即方程的根為1 442 44= 5 ( 16 )= 1 ( 35 )EI EIm l m lEI EIm l m l??精確值為 ；精確值為故頻率方程為2?為了改善 的計(jì)算精度，可采用以下四個(gè)函數(shù)：1 1 2 2 3 3 4 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y x a y x a y x a y x a y x? ? ? ?221 2 324( ) = 1 ( ) 1 ( ) 0 . 5 1 ( ) 0 . 7 5 0 . 2 5 1 x x x x x xy x y x y xl l l l l lx x x xyxl l l l? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2其 中 ， ， ，12 442 = 3 . 5 1 6 = 2 2 . 1 5 9E I E Im l m l??同理，求得結(jié)構(gòu)的前階頻率分別為 ，可見(jiàn)，如要得到更精確的值更好在假設(shè)振型的級(jí)數(shù)中取更多一些項(xiàng)。將上式代入（4 0 4 ），有? ? 21 1 2 2= ( ) ( ) ( )nnE I a y x a y x a y x d x?? ?? ??? ? ? ? ? ? ??12? ?221 1 2 20 ( ) ( ) ( ) ( )2lnnm x a y x a y x a y x dx? ? ? ? ? ? ??2, 1 , 1= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnj i i j j i i jj i j ia a E I y x y x d x a a m x y x y x d x????? ?? ?? ?????????12令00( ) ( ) , ( ) ( ) ( )llij i j ij i jk EI y x y x dx m m x y x y x dx?? ??????（ ） （ ） 得211= ( )nnij ij i jijk m a a???????120 , ( 1 , , ) ,iina?? ? ? ????應(yīng)用駐值條件 有21( ) 0 , ( 1 , , )ni j i j jjk m a i n??? ? ? ? ? ??（ ） 寫(xiě)成矩陣形式為? ? ? ?2K M a??( ) = 0 （ ） .1矩陣中的各項(xiàng)按式（4 0 6 ）取值。 法是建立在 變分原理基礎(chǔ)上的，是將變分問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求多個(gè)變量函數(shù)的極值問(wèn)題。4 .4 .3 R itz 法用能量法求體系的第一頻率，精確度取決于假設(shè)振型的精確程度，并且只能求得振動(dòng)基頻的上限（比真實(shí)值大）。解：()Yx（1 ）假設(shè)等截面簡(jiǎn)支梁的一階振型曲線 為一拋物線24( ) = ( )axY x l xl ?0 ( 0 ) = 0 ( ) = 0x Y x l Y l??當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ，可見(jiàn)此拋物線滿足邊界條件，又有2228d Y adx l??4 .9 8由式（ ）得? ?2223202 02 220 208( ) ( ) 64= = =8 1 54( ) ( )()llllaE I d xE I x Y x d xE I a llm a laxm x Y x d xm l x d xl???????????????????? ?21 0 . 9 5= EIlm?所以，( 2 ) ( ) ,q Y x取均布荷載 作用下的繞度曲線為振型曲線 則4 3 3( ) ( 3 )24qY x x l x lxEI? ? ?222502224 3 3 90( 1 2 1 2 )12024=31( 3 )2 4 2 4 6 3 0llqE I x lx d xq l E IEIqqm x l x lx d x m lE I E I???????? ?? ? ? ??? ????? ? ? ???4 .9 8由式（ ）得故有2 7= EIlm?( 3 ) 設(shè)形狀函數(shù)為正旋曲線，即( ) s i n xY x a l???? ????29 . 8 6 9 64 . 9 8 EIlm? ?代入式（ ），同理可得2= 9 .8 6 9 6 E I m l?由此可見(jiàn)，由于正弦曲線是第一主振型的精確解，因此由求得的頻率（ ）是第一頻率的精確解。由能量守恒可知。. 4 . 2 R a y l e i g h4 能量法m a xm a x00UW根據(jù)能量守恒定律，如果忽視體系在振動(dòng)過(guò)程中的能量散失，例如不計(jì)阻尼作用，則在任何時(shí)刻，系統(tǒng)的位能與動(dòng)能之和將保持一個(gè)常數(shù)。12 4