【正文】 41.5 .1 592 00 , 500 00 ,= 3 10 / , 10 / ,= 6 200 00m N m Nm k N m k NmN????? ? ?11 221例4如圖4 1所 示，已知不等高單層廠房柔度系數(shù) 另外，已經(jīng)求出此廠房的基頻 （1 s), 如果廠房的質(zhì)量 增加了 ，試估計(jì)質(zhì)量變化后廠房的基頻。1 2 3. 4 . 1 , k e r3mlm m m D u m l e y? ? ?例4 對于圖4 0 所示的簡支梁，如果 試用 公式求體系的基頻。1 2 3211 ++m m m? ? ?? ? 1 1 2 2 3 3（ ） k e r k e rD u m l e y n D u m l e y它就是 給出的基頻計(jì)算公式，對于 個自由度體系公式的一般形式為2111 nii iim?? ?? ?（ ） 21ii i i ii iim m k????由于 ，所以上式又可寫成221111ni ii???? ?（ ） k e rk e riD u m le ym D u m le y????11動力分析中常常要求在改變體系的質(zhì)量、剛度參數(shù)時，對系統(tǒng)的基頻做出迅速的估算， 公式對此可以方便的計(jì)算。解： .5（1 ）利用式（4 5 ）建立正則坐標(biāo)變換? ?11221111uqu Y q? ? ? ???? ? ????? ?? ???? ? ? ?( 2 )求廣義質(zhì)量.5由式（4 2 ）得? ?? ?1 1 12 2 2011 1 201011 1 201TTmM Y M Y mmmM Y M Y mm? ? ? ?? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??????? ? ? ?( 3 )求廣義荷載? ?? ?11 1 112 2 1()( ) ( ) 1 1 ( )0()( ) ( ) 1 1 ( )0TTPtF T Y P t P tPtF T Y P t P t??? ? ???????? ? ? ?????( 4 )求正則坐標(biāo)4 . 7 6由式（ ），得1 1 111 01= ( ) s i n ( )tq P t dM ? ? ? ??? ??11 1 121 1 1 101 s i n ( ) ( 1 c o s )22t PP t d tmm ? ? ? ???? ? ? ??12222= ( 1 c o s )2 Pqtm ?? ?( 5 )求質(zhì)點(diǎn)位移根據(jù)坐標(biāo)變換，得1 1 2( ) 1 . 0 ( ) 1 . 0 ( )u t q t q t??1112221 1 2( 1 c o s ) ( 1 c o s )22PP ttmm ????? ? ? ?2 1 2( ) 1 . 0 ( ) 1 . 0 ( )u t q t q t??1112221 1 2( 1 c o s ) ( 1 c o s )22PP ttmm????? ? ? ?(6 )求彎矩()iQ t i t設(shè) 表示質(zhì)點(diǎn)在任意時刻 所受的荷載和慣性力之和，則有11 1 1 1 1 212 1 2 1 2( ) = ( ) ( c os c os )2( ) = ( ) 0 ( c os c os )2PQ t P m u t P t tPQ t P m u t t t????????12則質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn) 處截面的彎矩為：1 2 11 1 21 2 12 1 22 ( ) ( ) 1( ) ( 1 c o s ) ( 1 c o s )3 3 6 3( ) 2 ( ) 1( ) ( 1 c o s ) ( 1 c o s )3 3 6 3Q t Q t P llM t t tQ t Q t P llM t t t????? ??? ? ? ? ? ?????? ??? ? ? ? ? ?????4 . 4 動力特性的實(shí)用計(jì)算方法4 . 4 . 1 k e rD u m le y 公式k e rD u m le y在動力分析中對體系的基頻迅速做出估計(jì)是很重要的，所以，在此，先介紹估算第一頻率的 公式.以三個自由度體系為例，按柔度法建立的體系特征方程是 1 2 321 2 321 2 3 21101m m mm m mm m m? ? ??? ? ??? ? ??????????????????11 12 1321 22 2331 32 33（ ） 21ij? ?式中， 為體系的柔度系數(shù)。振型疊加法思路：相互耦聯(lián)的微分方程 求解n 個相互獨(dú)立的微分方程.3例4? ? ? ?? ? ? ?121211.91 , 11 , 1 ,()( , 0 。如果荷載 是簡諧荷載或其他周期荷載，則每一個方程均可按單自由度體系的方法求解；如果荷載為其他一般性荷載，則方程可利用Du h a m e l 積分進(jìn)行求解。.2例423= = = 0 .0 51 8 0 0 0 9 8 9 8 00 2 7 0 0 / , 9 8 2 9 4 1 9 6 1 0 / ,0 0 2 7 0 0 1 9 6 4 4 1M k N s m K k N m? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?1 2 3已知3 個自由度體系的前三階振型阻尼比 ，結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別為 試求阻尼矩陣。1110 1 20()nmmmC M K K M K M M K? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ） 0 1 2 1n Ca u g h e yij? ? ? ? ?????式中， ， ， ， ， 為n 個待定常數(shù)。也就是說， 阻尼僅可能在兩個頻率點(diǎn)上滿足等于給定的阻尼比，而更高階的阻尼比一般并不和實(shí)測結(jié)果一致，并且所取得的振型階數(shù)越高，誤差愈大，這就是 阻尼的不足之處。21 1 122 2 2=2=2? ? ? ? ?? ? ? ? ??????（ ） 1 2 1 2 2 1 2 2 1 12 2 2 22 1 2 1==? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?2 （ ） 2 ( ），（ ） 12jjj?? ? ??????????（ ） 阻尼比. C a u g h e y2 阻尼.6C a u g h e y R a y le ig h R a y le ig hR a y le ig hR a y le ig h??阻尼又稱擴(kuò)展的 阻尼。即()T T T Tj i j i j i j iX C X X M K X X M X X K X? ? ? ?? ? ? ?20 ( )( ) ( )j j jijc m i j? ? ?????? ? ? ? ??（ ） jc j j?式中， 為第階振型的廣義阻尼系數(shù)。為了便于方程組解耦，使振型關(guān)于阻尼矩陣正交，現(xiàn)介紹以下兩種多自由度體系中的阻尼假設(shè)。在多自由度體系中，每個質(zhì)點(diǎn)的振動，作用在質(zhì)點(diǎn)上的阻尼力，除了受該點(diǎn)振動速度 影響外，還要受到其他質(zhì)點(diǎn) 振動速度 的影響，所以多自由度體系的阻尼矩陣 為：11 12 121 22 21212nni i ij inn n nnc c cc c cCc c c cc c c????????????????????ijC j i式中， 為 質(zhì)點(diǎn)單位速度對質(zhì)點(diǎn) 所產(chǎn)生的阻尼力。.5由于方程組（4 6 ）還可以寫成：1 1 2 2= j j n nu Xq X q X q X q X q? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ） TiXM將上式兩端同時左乘 ，得1 1 2 2T T T T Ti i i i j j i n nX M u X M X q X M X q X M X q X M X q? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ） i iX M X q由于振型關(guān)于質(zhì)量矩陣的正交性，上式右邊只有 這一項(xiàng)不為 其他項(xiàng)均為0 ，故得：TTi i i iX M u X M X q? （ ） TTiii Ti i iX M u X M uqtX M X M?（）=（ ） iq t u t上式即為廣義坐標(biāo)（）與實(shí)際位移（）之間的關(guān)系。為此，引入廣義坐標(biāo)（獨(dú)立坐標(biāo)）的概念對微分方程組進(jìn)行耦聯(lián)。坐標(biāo)耦聯(lián)又可以分為剛度（靜力）耦聯(lián)，以及慣性（加速度或質(zhì)量）耦聯(lián)。多自由度有阻尼體系的受迫振動 多自由度有阻尼受迫振動微分方程組：? ?()M u C u K u P t? ? ?（ ） Ne wm a rkW ilso n ???????????直接積分法：就是按照時間歷程對上述微分方程直 接進(jìn)行數(shù)值積分，即數(shù)值解法，常用方程的解法 的數(shù)值解法由中心差分法、 法 和 法 振型（模態(tài)）疊加法為了說明振型疊加法，先就以下幾個概念加以說明。. 3 . 14 坐標(biāo)的耦聯(lián)與正則坐標(biāo)1 2 1 2u u u u通過前面給出的兩質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動方程知：由于方程組的未知數(shù)（坐標(biāo)）和 是耦聯(lián)的，也就是說必須聯(lián)立求解才能得到 和 的解，這種方程稱為坐標(biāo)耦聯(lián)。因此，微分方程組耦聯(lián)的數(shù)目越少，方程的解法就越簡單。? ?12, , , , , ,iTjnXq q q q q q u? ? ? ? ? ? ?對于一個n自由度體系，如果已知體系的振型 ，并引入一組新的坐標(biāo) 使新的坐標(biāo) 與原物理坐標(biāo) 之間形成一種線性變換，即1niiiu X q X q??? ?（ ） 1niiiu X q X q??? ?（ ） 1 1 11 2 12 1 12 1 21 2 22 2 21 1 2 21 1 2 2j j n nj j n ni i i j ij n inn n n j nj n nnu q X q X q X q Xu q X q X q X q Xu q X q X q X q Xu q X q X q X q X? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??（ ） i i jiu i X j iqi式中， 為質(zhì)點(diǎn)的位移坐標(biāo)，即微分方程組的解； 為質(zhì)點(diǎn) 在振型下的相對位移幅值； 為振型所對應(yīng)的廣義坐標(biāo)，又稱正則坐標(biāo)或振型坐標(biāo)。4 . 3 . 2 阻尼假設(shè)ijiuj u C對于粘滯阻尼，假定阻尼力的大小與質(zhì)點(diǎn)振動的速度成正比，而阻尼力的方向與速度相反。（ ） 關(guān)于阻尼矩陣卻不滿足正交條件，因此在一般情況下，只能得到關(guān)于振型坐標(biāo)的一組相互耦聯(lián)的微分方程。.R a y le ig h1 阻尼=C M K??? （ ） ??式中， ， 為比例常數(shù)，這時，系統(tǒng)的各振型關(guān)于阻尼矩陣正交。從上式可以求出第階振型的阻尼比12jjj?? ? ??????????（ ） ??另外，如果已知體系的第一、二階頻率和相應(yīng)的阻尼比，則可以利用下式求出比例常數(shù) ， 。通過對上述 阻尼的簡介可知：比例常數(shù) ， 是由第一、二頻率和阻尼比來確定的，而更高階的阻尼比則由式（4 4 ）來確定。因此，可采用如下阻尼。利用廣義正交性可以證明 阻尼矩陣滿足正交性，即 時，110( ) 0nT T mi i i m imX C X X M M K X???????（ ） = ji j C c??當(dāng) 時，廣義阻尼矩陣 中的主對角線元素 為120=nej e j jecm??????? （ ） 從上式可得121012nej e je? ? ????? ?（ ） nn將已知的 階自振頻率以及實(shí)測的 階阻尼比帶入上式，可以得到n 個線性方程，聯(lián)立求解可得n 個待定常數(shù)，這就使得假設(shè)的各階阻尼比和實(shí)測結(jié)果完全吻合。21 2 30= 45 , 44 , 1KM ??