【正文】 ? ???解：利用方程 求得結(jié)構(gòu)的三階頻率分別為：， ， （1 s ）R a y le ig h（1 ）假設(shè)為 阻尼1 2 1 2 2 122212 2 1 12221.6= = 3= = 02 3? ? ? ? ? ????? ? ? ????根據(jù)式（4 6） ，有2 （）2( ）.6故利用式（4 2 ），可得3 9 2 .8 0 2 2 5 .4 0 02 2 5 .4 0 9 2 7 .3 0 4 5 0 .8 0 /0 4 5 0 .8 0 1 2 6 5 .4 0C k N s m?????? ? ? ????4 . 6 4 )再利用式（ 得體系的第三振型阻尼比為31 0 . 9 3= +0 . 0 0 2 3 * 4 6 . 6 6 1 = 0 . 0 6 3 62 4 6 . 6 6 1???????. 2 %可見，由第一陣型和第二振型阻尼比求的第三振型與實(shí)測值之間有較大差異（27 ）.C a u g h e y（2 ）假設(shè)為 阻尼.7利用式（4 0 ）可得方程組：. 0 = . 5 . 4 + . 4 + . 4. 0 = . 5 3 0 . 1 4 4 + 3 0 . 1 4 4 + 3 0 . 1 4 4. 0 = . 5 4 6 . 6 6 1 + 4 6 . 6 6 1 + 4 6 . 6 6 1? ? ?? ? ?? ? ????? ????30 1 230 1 230 1 20 5 0 （ 1 3 4 5 1 3 4 5 1 3 4 5 ）0 5 0 （）0 5 07= 0. 84 7 = 0. 00 28 4 = 4. 96 10 .6? ? ? ?0 1 2解的 ， ， ，然后根據(jù)式（4 7） ，有1:38 6. 49 7 19 8. 80 1 35 .2 3619 8. 80 1 80 7. 95 2 29 2. 37 1 /35 .2 36 29 2. 37 1 10 54 .0 14C M M KM KC k N s m? ? ??? ? ???????? ? ? ???????012代入已知條件，得4 . 3 . 3 振型疊加法.5R a y l e i g h利用 阻尼假設(shè)將方程（4 4 ）轉(zhuǎn)化為()M u M K u K u P t??? ? ? ?（） （ ） 1niiiu X q X q??? ?（ ） ()M u M K u K u P t??? ? ? ?（） （ ） ()M X q M K X q K X q P t??? ? ? ?（） （ ） ()M X q M K X q K X q P t??? ? ? ?（） （ ） ? ?TjX兩端左乘()j j j j j j j jM q M K q K q F t??? ? ? ?（） （ ） ( )= ( )TjjF t X P t廣義荷載jM兩端同除以22 ()Tjj j j j jjX P tq q qM? ? ? ?? ? ? ?（）2 2j j j? ?? ? ???令 ()TjjjX P tPM? ?22j j j j j j jq q q P? ? ??? ? ?（ ） （ ） ? ?()M u C u K u P t? ? ?（ ） 由此可見，()Pt實(shí)際上是n 個獨(dú)立的方程。.5( 0) ( 0) 0 , .7q q D uh am e l??如果方程（4 4） 的初始位移與初始速度均為0， 即u( 0) =u (0 )= 0,則可以推得 根據(jù) 積分方程，（4 5） 的解：()01( ) ( ) s i n ( )jjt tj j jjjq t P e t dM ? ? ?? ? ? ?? ??? ???? ? （ ） 2= 1 j j j? ? ??式中，.5.7如果方程（4 4 ）的初始位移與初始速度不為0 ，則應(yīng)將由初始條件引起的振動疊加到式（4 6 ）中，即有：( 0) ( 0)( ) ( 0) c os si njj t jjj j j jjqqq t e q t t???????? ?? ????? ????()01 ( ) s i n ( )jjt tjjjjP e t dM? ? ?? ? ? ????? ???? ?（ ） ( 0 ) ( 0 ) . 6qq對于初始條件 和 ，可以式（4 0 ）求得：( 0) ( 0)( 0) = , ( 0) =TTiiiiiiX M u X M uqqMM（ ） （ ） 1niiiu X q X q??? ?上述求解方法是將運(yùn)動方程的解用振型的線性疊加來表示，稱振型疊加法。 0 ,0)TTYYPtPtt????? ? ??如圖4 ，已知結(jié)構(gòu)的兩個自振圓頻率分別為 、 ，結(jié)構(gòu)的第一主振型與第二主振型分別為 、試求結(jié)構(gòu)在突加載荷當(dāng)當(dāng) 作用下的位移和彎矩。它的展開式是關(guān)于 的三次代數(shù)方程321 2 32211 ( + + ) 0m m m? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1 1 2 2 3 3（ ） 2221 2 3111???設(shè)方程的三個根為 、 、 ，則寫成方程的形式如下2 2 2 2 2 21 2 31 1 1 1 1 1 = 0? ? ? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ??（ ） 展開后，有322 2 2 2 21 2 31 1 1 1 1 + + 0? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???（ ） . 8 . 8比較式（4 2 ）和式（4 0 ），有1 2 32221 2 3111+ + = + +m m m? ? ???? 1 1 2 2 3 3（ ） 222311??由于工程實(shí)際中的高頻部分較基頻高的多，所以，忽略上式左端的高階頻 、 后，可以得到關(guān)于體系第一頻率的近似公式。設(shè)原多自由度體系的基頻為 ，各質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量的增量為 ，則按 公式質(zhì)量增加后體系的基頻 為221 1 1 111+ = + =n n n ni i i i i i i i i i i i ii i i im m m m m? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?（）（ ） 4 .8 4 k e rk e rk e rk e rD u m le yD u m le yD u m le yD u m le y由式（ ）可知， 公式是在左端略去高頻項(xiàng)得到的，因而他給出的基頻降低于實(shí)際值；另外，體系的高頻與基頻相差越大， 公式給出的結(jié)果也就越精確，反之，體系的高頻與基頻越接近， 公式的誤差也就越大，所以， 公式對于有密集頻譜的肋板、連續(xù)梁和板等結(jié)構(gòu)的計(jì)算精度較差。3325 81= = , ,388 8 388 8llE I E I? ? ? ?11 33 22解:按 圖乘法求得體系的柔度系數(shù) 代入公式（ ），有33211 25 812+38 88 3 38 88 3l m l l m lE I E I?? ? ? ?229 . 4 5 9 . 8 6, 4 . 1 5 %E I E Il m l m????11解之，得 較精確解 的誤差為 。.8解：按式（4 7 ），有32 2 21111 1 1= + 2 2 . 1 3 1 05 . 1 6ni i iim????? ? ? ? ?? ?111 4. 90 , .9 , 1%ss? ??? ?解之，得 參數(shù)變化后的精確解為4 5 估算的誤差為 。由于體系在靜力平衡位置時的位能為零，因此，此時體系的動能最大，記為 ；同理，當(dāng)體系達(dá)到最大位移時，由于此時速度為 ，因而動能為 ，所以全部能量均變?yōu)槲荒?，記?。m a x m a x=UW（ ） 4 . 1 2設(shè)如圖 所示的分布質(zhì)量體系中任一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為( , ) ( ) s i n ( )y x t Y x t????（ ） ( , ) ( ) c o s ( )y x t Y x t? ? ???（ ） 振型 由此得體系振動時的動能為2 2 2 20011 ( ) ( , ) c o s ( ) ( ) ( )22llU m x y x t d x t m x Y x d x? ? ?? ? ???（ ） c o s ( ) = 1t?? ?當(dāng) 時，體系動能最大，即22m a x 01= ( ) ( )2lU m x Y x d x? ? （ ） 僅考慮彎曲變形時，體系的應(yīng)變能為2222222001 ( , ) 1 ( )= ( ) si n ( ) ( )22ll y x t d y xW EI x dx t EI x dxx dx??? ? ? ?? ??? ? ? ??? ? ? ???（ ） 同理，有22m a x 201 ( )= ( )2l d y xW EI x dxdx???????（ ） （ ）、（ ） 代入 m a x m a x=UW（ ） 2220220()()=( ) ( )lld y xE I x d xdxm x Y x d x?????????（ ） ( ) ( 1 , 2 , , ). 1 . 9()im x n m i nmx? ? ? ?如果體系除了分布質(zhì)量 外，還有 個集中質(zhì)量（圖4 3 ），這時，系統(tǒng)的動能除了式（4 1 ）所表示了分布質(zhì)量的動能外，還應(yīng)包括集中質(zhì)量的動能，即220 111( ) ( , ) + ( , )22nliiiU m x y x t d x m y x t?? ??（ ） 那么，此時體系的最大動能則為2 2 2 2m a x 0111 ( ) ( ) + ( )22nliiiU m x Y x d x m Y x???? ??（ ） .9這樣，式（4 5 ）將改為：? ? 22 02201( ) ( )=( ) ( ) ( )lnliiiE I x Y x d xm x Y x d x m Y x????????（ ） ()( ) ()R a y le igh R a y le ighm x gYx法僅用來計(jì)算基本頻率，因此，為了求第一頻率，建議：可以用作用于體系上的自重荷載 在振動方向上產(chǎn)生的靜位移當(dāng)做第一陣型 注意：如果考慮水平振動，則重力應(yīng)沿水平方向作用，這樣它的做功可表示為：01 ( ) ( )2lW m x g Y x d x? ? （ ） 4 . 9 8因此，對于既有分布質(zhì)量又有集中質(zhì)量的結(jié)構(gòu)體系，式（）改寫：02 12201( ) ( ) + ( )=( ) ( ) ( )nliiinliiim x gY x dx m g Y xm x Y x dx m Y x? ???????（ ） ()qx當(dāng)然，也可以取結(jié)構(gòu)在某一靜荷載 作用下所產(chǎn)生的彈性曲線作為振型曲線的近似表達(dá)式，這樣，上式又可改寫為：2 02201( ) ( )=( ) ( ) ( )lnliiiq x Y x d xm x Y x d x m Y x??????（ ） .6 E I m例4 試用能量法求等截面簡支梁（ 為常數(shù)，分布質(zhì)量為 ）的第一頻率。另外，所選的前兩種曲線，因?yàn)榇蟛糠只蛉繚M足邊界條件，因此所得結(jié)果誤差較小，但均比精確值大，這時能量法的一個特點(diǎn)，因?yàn)榧俣ǖ那€并非真實(shí)的振型曲線，即相當(dāng)于給結(jié)構(gòu)增加了某些多余約束，從而增大了體系的剛度，因此所得的頻率將偏大。R i t z R a y l e i g h R i t z H a m i l t o n為了求出高階頻率的近似值，以及使最低頻率更接近于精確解，發(fā)展了 的能量法。H a m il to nU W W?原理是分析動力學(xué)的一個變分原理，它提供了從一切可能發(fā)生的、滿足約束條件的運(yùn)動中判斷真正的實(shí)際發(fā)生的運(yùn)動的準(zhǔn)則，對于實(shí)際發(fā)生的運(yùn)動，彈性體系的動能 、勢能 和虛功 必須滿足2211( ) 0ttW U d t W d t?? 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