【正文】 xx ][ 21 ??X和單自由度系統(tǒng)一樣，自由振動時系統(tǒng)將以固有頻率為振動頻率。 多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動 和單自由度系統(tǒng)一樣，自由振動時系統(tǒng)將以固有頻率為振動頻率。 單自由度系統(tǒng)自由振動分析的一般目標(biāo)： 求系統(tǒng)的固有角頻率，即固有頻率； 求解標(biāo)準(zhǔn)方程。 因此坐標(biāo)變換 X ＝ TY 不改變系統(tǒng)的正定性質(zhì)。 對稱性質(zhì)： 若矩陣 A 對稱，則（ TTAT）對稱。 對于質(zhì)量矩陣也如此。 剛度矩陣或柔度矩陣中出現(xiàn)耦合項(xiàng)稱為 彈性耦合。 質(zhì)量矩陣 ： M 中的元素 mij 是使系統(tǒng)僅在第 j 個坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第 i 個坐標(biāo)上所需施加的力 。多自由度系統(tǒng)振動 第四章 3 2022年 5月 31日 《振動力學(xué)》 2 教學(xué)內(nèi)容 ? 多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程 ? 多自由度系統(tǒng)的自由振動 ? 頻率方程的零根和重根情形 ? 多自由度系統(tǒng)的受迫振動 ? 有阻尼的多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)振動 2022年 5月 31日 《振動力學(xué)》 3 小結(jié)： 作用力方程、位移方程和矩陣 多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程 )( XMPFX ????位移方程 柔度矩陣： F中的元素 fij是使 系統(tǒng)僅在第 j 個坐標(biāo)受到單位力 作用時相應(yīng)于第 i 個坐標(biāo)上產(chǎn)生的位移 . 柔度矩陣與剛度矩陣的關(guān)系： 1?? KF IFK ?位移方程不適用于具有剛體自由度的系統(tǒng)。 )( tPXKXM ????作用力方程 剛度矩陣： K 中的元素 kij 是使系統(tǒng)僅在第 j 個坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而相應(yīng)于第 i 個坐標(biāo)上所需施加的力 。 2022年 5月 31日 《振動力學(xué)》 4 小結(jié)： 耦合與坐標(biāo)變換 多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程 質(zhì)量矩陣中出現(xiàn)耦合項(xiàng)稱為 慣性耦合。 不出現(xiàn)慣性耦合時 ， 一個坐標(biāo)上產(chǎn)生的加速度只在該坐標(biāo)上引起慣性力 . 耦合的表現(xiàn)形式取決于坐標(biāo)的選擇 同一個系統(tǒng)選擇兩種不同的坐標(biāo) X 和 Y 有變換關(guān)系： TYX ?坐標(biāo) X下系統(tǒng)： PKXXM ????坐標(biāo) Y 下系統(tǒng)： PTK T YTYMTT TTT ????其中 T 是非奇異矩陣 如果恰巧 Y 是主坐標(biāo)： MTT T KTTT 對角陣 這樣的 T 是否存在？如何尋找？ 不出現(xiàn)彈性耦合時 ， 一個坐標(biāo)上產(chǎn)生的位移只在該坐標(biāo)上引起彈性恢復(fù)力 . 2022年 5月 31日 《振動力學(xué)》 5 當(dāng) T 矩陣非奇異時，稱矩陣 A 與矩陣（ TTAT） 合同。 線性代數(shù)知 : 合同矩陣具有相同的對稱性質(zhì)與相同的正定性質(zhì)。 證明： 矩陣 A 對稱， A＝ AT 則有： (TTAT)T＝ TTAT(TT)T＝ TTAT 正定性質(zhì)： 若原來的剛度矩陣 K 正定，則（ TTKT）仍正定。 多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程 2022年 5月 31日 《振動力學(xué)》 6 小結(jié)： 回顧：單自由度系統(tǒng)自由振動－無阻尼自由振動 單自由度系統(tǒng)自由振動分析的一般過程： 由工程裝置建立自由振動的一般方程，并寫出振動的標(biāo)準(zhǔn)方程； 根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程，建立本征方程并計(jì)算得到本征值； 根據(jù)本征值，寫出標(biāo)準(zhǔn)方程的通解； 根據(jù)初始條件，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)方程的特解。 2022年 5月 31日 《振動力學(xué)》 7 ? 多自由度系統(tǒng)的自由振動 ? 固有頻率 ? 模態(tài) ? 模態(tài)的正交性 ? 主質(zhì)量和主剛度 ? 模態(tài)疊加法 ? 模態(tài)截?cái)喾? 多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動 2022年 5月 31日 《振動力學(xué)》 8 ? 多自由度系統(tǒng)的固有頻率 作用力方程： t??M X K X P ( ) nR?X自由振動方程： ??M X K X 0 在考慮系統(tǒng)的固有振動時 ， 最感興趣的是系統(tǒng)的 同步振動 ， 即系統(tǒng)在各個坐標(biāo)上除了運(yùn)動幅值不相同外 ，隨時間變化的規(guī)律都相同的運(yùn)動 。 2022年 5月 31日 《振動力學(xué)》 9 多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動 同步振動： 系統(tǒng)在各個坐標(biāo)上除了運(yùn)動幅值不相同外 ， 隨時間變化的規(guī)律都相同的運(yùn)動 。 同步振動： 系統(tǒng)在各個坐標(biāo)上除了運(yùn)動幅值不相同外 ， 隨時間變化的規(guī)律都相同的運(yùn)動 。 )s i n ( ?? ?? taφX系統(tǒng)在各個坐標(biāo)上都是按相同頻率及初相位作簡諧振動。 )s i n ( ?? ?? taφX也可能出現(xiàn)形如 的同步運(yùn)動 )( bat ??φX （不發(fā)生彈性變形 ）。 1?：基頻。 0XXFM ????自由振動的位移方程： 主振動： )s i n ( ?? ?? tφX代入，得： 0IFM ?? φ)( ? 特征方程： 0IFM ?? ?2022年 5月 31日 《振動力學(xué)》 19 ? 多自由度系統(tǒng)的模態(tài)（主振型） 正定系統(tǒng)： 0??主振動： )s i n ( ?? ?? taφX0KXXM ???? nR?X nnR ??KM 、nR?φ0MK ?? φ)( 2?特征值問題： ? 特征值 φ 特征向量 n 自由度系統(tǒng)： （固有頻率） （模態(tài)） i?)(iφ一一對應(yīng) ni ~1?1)()(1)( ????????????? ninii R???φ0MK ?? )(2 )( ii φ?)(ii φ、?代入，有： 多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動 /模態(tài) 第 i 階模態(tài)特征值問題。 i?設(shè)最后一個方程不獨(dú)立，把它劃去，并且把含有 的某個元素（例如 ）的項(xiàng)全部移到等號右端 。 多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動 /模態(tài) n 1個方程 非奇次方程組 2022年 5月 31日 《振動力學(xué)》 22 為使計(jì)算簡單，令： 1)( ?in?? ?Tiniii 1)( 1)(2)(1)( ?? ??? ?φ則有： 0MK ?? )(2 )( ii φ? Tinii ][ )()(1)( ?? ??φ當(dāng) 不是特征多項(xiàng)式的重根時，上式的 n 個方程中有且只有一個不獨(dú)立 。 )(iφ)(in??????????????????????????????????)(,12,1)(11,121,1)(11,121,1)(121)(11,121,1)(111211)()()( )()()(innninninnninninininnininniniimkmkmkmkmkmk?????????????多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的自由振動 /模態(tài) 2022年 5月 31日 《振動力學(xué)》 23 例：三自由度系統(tǒng) ???????????????kkkkkkk30203K???????????mmm000000M0