【正文】 力學(xué)》 28 第 i 階主振動(dòng) ： )s i n ()()( iiiii ta ?? ?? φXTinii xx ][ )()(1)( ??X Tinii ][ )()(1)( ?? ??φ)()()(2)(2)(1)(1ininiiii xxx??? ?????多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) )s i n ()()(2)(1)()(2)(1iiiiniiiniitaxxx?????????????????????????????????????)s i n ( iii ta ?? ??2022年 5月 31日 《振動(dòng)力學(xué)》 29 第 i 階主振動(dòng) ： )s i n ()()( iiiii ta ?? ?? φXTinii xx ][ )()(1)( ??X Tinii ][ )()(1)( ?? ??φ)()()(2)(2)(1)(1ininiiii xxx??? ?????比值： 雖然各坐標(biāo)上振幅的精確值并沒(méi)有確定，但是所表現(xiàn)的系統(tǒng)振動(dòng)形態(tài)已確定 。 振動(dòng)的形狀 2022年 5月 31日 《振動(dòng)力學(xué)》 20 0MK ?? )(2 )( ii φ? Tinii ][ )()(1)( ?? ??φ多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) nn?nn? n 個(gè)方程 奇次方程組 ??????????????????????????????????????????????????000)()(2)(1222212122222222212211211221211211?????????iniinninnninninniniininiimkmkmkmkmkmkmkmkmk????????????當(dāng) 不是特征多項(xiàng)式重根時(shí)，上式 n 個(gè)方程只有一個(gè)不獨(dú)立 . i?設(shè)最后一個(gè)方程不獨(dú)立，把它劃去，并且把含有 的某個(gè)元素（例如 ）的項(xiàng)全部移到等號(hào)右端 . )(iφ)(in?2022年 5月 31日 《振動(dòng)力學(xué)》 21 0MK ?? )(2 )( ii φ? Tinii ][ )()(1)( ?? ??φ當(dāng) 不是特征多項(xiàng)式的重根時(shí)，上式 n 個(gè)方程中有且只有一個(gè)是不獨(dú)立的 。 運(yùn)動(dòng)規(guī)律的時(shí)間函數(shù) 2022年 5月 31日 《振動(dòng)力學(xué)》 11 M X + K X = 0 )(tfφ?X代入，并左乘 ： Tφ 0KM ?? )()( tftf TT φφφφ ?????? φφ φφ MKTTtftf)()(??? ：常數(shù) M 正定， K 正定或半正定 對(duì)于非零列向量 ： φ 0?φφ MT 0?φφ KT2?? ? 0??令： 對(duì)于半正定系統(tǒng)，有 0??對(duì)于正定系統(tǒng)必有 0??2??nR?X nR?φ多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) /固有頻率 2022年 5月 31日 《振動(dòng)力學(xué)》 12 2)()( ?? ????φφφφMKTTtftf?? 0)()( 2 ?? tftf ????????????0 ,)(0),s i n()(????battftatf?a、 b、 為常數(shù) 0KXXM ???? )(tfφ?X（ 1）正定系統(tǒng) 只可能出現(xiàn)形如 的同步運(yùn)動(dòng)。 因此坐標(biāo)變換 X ＝ TY 不改變系統(tǒng)的正定性質(zhì)。 質(zhì)量矩陣 ： M 中的元素 mij 是使系統(tǒng)僅在第 j 個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第 i 個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力 。 不出現(xiàn)慣性耦合時(shí) ， 一個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生的加速度只在該坐標(biāo)上引起慣性力 . 耦合的表現(xiàn)形式取決于坐標(biāo)的選擇 同一個(gè)系統(tǒng)選擇兩種不同的坐標(biāo) X 和 Y 有變換關(guān)系： TYX ?坐標(biāo) X下系統(tǒng)： PKXXM ????坐標(biāo) Y 下系統(tǒng)： PTK T YTYMTT TTT ????其中 T 是非奇異矩陣 如果恰巧 Y 是主坐標(biāo)： MTT T KTTT 對(duì)角陣 這樣的 T 是否存在？如何尋找？ 不出現(xiàn)彈性耦合時(shí) ， 一個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生的位移只在該坐標(biāo)上引起彈性恢復(fù)力 . 2022年 5月 31日 《振動(dòng)力學(xué)》 5 當(dāng) T 矩陣非奇異時(shí)，稱矩陣 A 與矩陣（ TTAT） 合同。 2022年 5月 31日 《振動(dòng)力學(xué)》 7 ? 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) ? 固有頻率 ? 模態(tài) ? 模態(tài)的正交性 ? 主質(zhì)量和主剛度 ? 模態(tài)疊加法 ? 模態(tài)截?cái)喾? 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 2022年 5月 31日 《振動(dòng)力學(xué)》 8 ? 多自由度系統(tǒng)的固有頻率 作用力方程： t??M X K X P ( ) nR?X自由振動(dòng)方程： ??M X K X 0 在考慮系統(tǒng)的固有振動(dòng)時(shí) ， 最感興趣的是系統(tǒng)的 同步振動(dòng) ， 即系統(tǒng)在各個(gè)坐標(biāo)上除了運(yùn)動(dòng)幅值不相同外 ，隨時(shí)間變化的規(guī)律都相同的運(yùn)動(dòng) 。 )s i n ( ?? ?? taφX也可能出現(xiàn)形如 的同步運(yùn)動(dòng) )( bat ??φX （不發(fā)生彈性變形 ）。 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) /模態(tài) n 1個(gè)方程 非奇次方程組 2022年 5月 31日 《振動(dòng)力學(xué)》 22 為使計(jì)算簡(jiǎn)單，令： 1)( ?in?? ?Tiniii 1)( 1)(2)(1)( ?? ??? ?φ則有： 0MK ?? )(2 )( ii φ? Tinii ][ )()(1)( ?? ??φ當(dāng) 不是特征多項(xiàng)式的重根時(shí)，上式的 n 個(gè)方程中有且只有一個(gè)不獨(dú)立 。 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) /模態(tài) 第 i 階特征向量 ，就是系統(tǒng)做第 i 階主振動(dòng)時(shí)各個(gè)坐標(biāo)上位移（或振幅）的相對(duì)比值 。 根據(jù)逆矩陣定義 ： BBB a dj11 ?? 兩邊左乘 ： BB BBIB adj?0)()( ?ii adj ?? BBi?? ?當(dāng) 時(shí) ： 0)()( 2 ?? ii adj ?? BMK或 0MK ?? )(2 )( ii φ? ? ?Tinii )()(1)( ?? ??φ)( ia d jB ? 的任一非零列都是第 i 階主振動(dòng) )(iφ多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) /模態(tài) 主振動(dòng)的伴隨矩陣求法： 伴隨矩陣：矩陣 A中的元素都用它們?cè)谛辛惺?A中的代數(shù) 余子式 替換后得到的矩陣再轉(zhuǎn)置，這個(gè)矩陣叫 A的伴隨