【正文】 ? ?? ????????????002121????2?? km?令 特征方程： ,121 ?? ??mkmk ,21 ?? ??11 ?? ??為求主振型，先將 代入 ： 一個(gè)獨(dú)立 12 ??令 11＝?則 ??????111＝）（φ第一階主振型： 12 ??令 21 ?＝?則 ＝＝ ?? 代入 ???????122 ＝）（φ第二階主振型： 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) /模態(tài) 同理： 2022年 5月 31日 《振動(dòng)力學(xué)》 34 ???????111）（φ第一階主振型： ????????122）（φ第二階主振型： 畫(huà)圖： 橫坐標(biāo)表示靜平衡位置，縱坐標(biāo)表示主振型中各元素的值。 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) /固有頻率 2022年 5月 31日 《振動(dòng)力學(xué)》 15 采用位移方程求解固有頻率： )( tFPXXFM ????位移方程： nR?X 1?? KF 柔度矩陣 0XXFM ????自由振動(dòng)的位移方程： 主振動(dòng)： )s i n ( ?? ?? tφXTn ][ 21 ??? ??φ代入，得： 0IFM ?? φ)( ?? 特征值 2/1 ?? ?多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) /固有頻率 0)( 2 ?? φMK ?2022年 5月 31日 《振動(dòng)力學(xué)》 16 采用位移方程求解固有頻率： )( tFPXXFM ????位移方程： nR?X 1?? KF 柔度矩陣 0XXFM ????自由振動(dòng)的位移方程： 主振動(dòng)： )s i n ( ?? ?? tφXTn ][ 21 ??? ??φ代入，得： 0IFM ?? φ)( ? ? 特征值 2/1 ?? ?特征方程： 0IFM ?? ?特征根按降序排列： 021 ???? n??? ?2/1 ii ?? ?多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) /固有頻率 2022年 5月 31日 《振動(dòng)力學(xué)》 17 例：三自由度系統(tǒng) ???????????????kkkkkkk30203K???????????mmm000000M030203321222??????????????????????????????????mkkkmkkkmk0)( 2 ?? φMK ?2??km? 0310121013321??????????????????????????????????0MK ??2?11 ?? 32 ?? 43 ??mk /1 ?? mk / ?? mk /23 ??m 2k m m k 2k k x1 x2 x3 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) /固有頻率 2022年 5月 31日 《振動(dòng)力學(xué)》 18 小結(jié)： 固有頻率 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) /固有頻率 主振動(dòng)： 正定系統(tǒng)： 0KXXM ????)s i n ( ?? ?? tφX 代入振動(dòng)方程： 0)( 2 ?? φMK ?有非零解的充分必要條件： φ0MK ?? 2? 特征方程 021)1(212 ????? ?? nnnn aaa ??? ?頻率方程或特征多項(xiàng)式 固有頻率僅取決于系統(tǒng)本身的剛度、質(zhì)量等物理參數(shù)。 對(duì)稱性質(zhì)： 若矩陣 A 對(duì)稱，則（ TTAT）對(duì)稱。 線性代數(shù)知 : 合同矩陣具有相同的對(duì)稱性質(zhì)與相同的正定性質(zhì)。 1?：基頻。 ：)~1(, nia ii ?? 初始條件決定 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) /模態(tài) 2022年 5月 31日 《振動(dòng)力學(xué)》 31 例：兩自由度彈簧－質(zhì)量系統(tǒng) m 2m 2k k k x1 x2 求：固有頻率和主振型。 )(iφ 主振動(dòng)僅取決于系統(tǒng)的 M 陣、 K 陣等物理參數(shù)。 描述了系統(tǒng)做第 i 階主振動(dòng)時(shí)具有的振動(dòng)形態(tài)，稱為 第 i 階主振型 ，或 第 i 階模態(tài)。 )s i n ( ?? ?? taφX系統(tǒng)在各個(gè)坐標(biāo)上都是按相同頻率及初相位作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 2022年 5月 31日 《振動(dòng)力學(xué)》 4 小結(jié)： 耦合與坐標(biāo)變換 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程 質(zhì)量矩陣中出現(xiàn)耦合項(xiàng)稱為 慣性耦合。 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)分析的一般目標(biāo)： 求系統(tǒng)的固有角頻率，即固有頻率； 求解標(biāo)準(zhǔn)方程。 )(iφ)(in??????????????????????????????????)(,12,1)(11,121,1)(11,121,1)(121)(11,121,1)(111211)()()( )()()(innninninnninninininnininniniimkmkmkmkmkmk?????????????若這個(gè)方程組左端的系數(shù)行列式不為零，則可解出用 表示的 )(in?)( 1)(2)(1 inii ?? ??? ，)(iφ否則應(yīng)把含 的另一個(gè)元素的項(xiàng)移到等號(hào)右端，再解方程組。 2022年 5月 31日 《振動(dòng)力學(xué)》 37 正定系統(tǒng)： 0KXXM ???? nR?X nnR ??KM 、0MK ?? φ)( 2?特征值問(wèn)題： 特征矩陣 記為 B 或 )(?B2i? adjB)(i?當(dāng) 不是重特征根時(shí)，可以通過(guò) B 的伴隨矩陣 求得相應(yīng)的主振型 。 A與 A的伴隨矩陣左乘、右乘結(jié)果都是主對(duì)角線上的元素全為 A的行列式 的 對(duì)角陣 。 i?設(shè)最后一個(gè)方程不獨(dú)立，把它劃去，并且把含有 的某個(gè)元素（例如 ）的項(xiàng)全部移到等號(hào)右端。 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 和單自由度系統(tǒng)一樣，自由振動(dòng)時(shí)系統(tǒng)將以固有頻率為振動(dòng)頻率。 )( tPXKXM ????作用力方程 剛度矩陣： K 中的元素 kij 是使系統(tǒng)僅在第 j 個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而相應(yīng)于第 i 個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力 。 同步振動(dòng)： 系統(tǒng)在各個(gè)坐標(biāo)上除了運(yùn)動(dòng)幅值不相同外 ， 隨時(shí)間變化的規(guī)律都相同的運(yùn)動(dòng) 。 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) /模態(tài) 2022年 5月 31日 《振動(dòng)力學(xué)》 26 正定系統(tǒng)： 0??主振動(dòng)： )s i n ( ?? ?? taφX0KXXM ???? nR?X nnR ??KM 、nR?φ)( iiaφφ ?將 ， 代入