【正文】 ilto n???對于周期性的（積分上下限可取一個周期，即0 與2 ）、無阻尼結(jié)構(gòu)體系自由振動問題，上式中虛功 為 ， 原理可表述為：在所有的可能運動狀態(tài)中，精確解使( ) =W U d t?? ??20駐值（ ） 4 . 92 . 9將式（ ）及式（4 4 ）代入上式，由于時間的積分范圍取一個周期，故有，? ? 22 2= ( ) ( ) ( )2EI Y x dx m x Y x dx???? ? ???1 駐值2（ ） ()Yx設(shè) 為假定的振型曲線，將它按振型分解1 1 2 21( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn n i iiY x a y x a y x a y x a y x?? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ） 1 1 2 21( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn n i iiY x a y x a y x a y x a y x?? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ） ().1Y x n a式中， 是滿足位移邊界條件的 個獨立位移函數(shù)， 是待定參數(shù)。根據(jù)克萊姆法則，若方程有非0解，其行列式應(yīng)為0 ，即2 =0KM?? （ ） 2 nn?由于上式是關(guān)于 的 次代數(shù)方程，故可求出最初 個自振頻率的近似值。4 .4 .4 矩陣迭代法Sto do la矩陣迭代法又稱 法或冪法，它是采用逐步逼近的計算方法來確定結(jié)構(gòu)的頻率和振型，它適用于求出結(jié)構(gòu)的前幾階振型和頻率。? ?? ?XX在此必須指出：由于振型列向量所表達(dá)的物理含義是質(zhì)點之間的相對位移， 不是絕對值而是相對值，所以，在進行每次迭代之前，都應(yīng)將振型 做歸一化處理，這樣才能便于迭代前后兩個振型之間的比較，并更有效的求出真值。解：因為 1 50. 18 42 0. 1 84 2 0. 1 84 20. 1 84 2 0. 2 94 9 0. 2 94 9 10 /0. 1 84 2 0. 2 94 9 0. 4 16 4K k N m????????? 1 54 6 9 .6 1 3 3 4 6 7 .7 7 1 6 1 0 3 .1 3 0 8= 4 6 9 .6 1 3 3 7 4 9 .0 5 6 2 1 6 5 .1 4 6 3 1 04 6 9 .6 1 3 3 7 4 9 .0 5 6 2 2 3 3 .1 9 0 0KM??????????所以? ?0 1 1 1 , .1TX ?設(shè) 代入式（4 14），有1 5 2 133 716 308 1 405 133 562 463 10 1 838 10 133 562 900 1 519X ??? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1( 1 )01( 1 )0 . 7 1 7 0 . 9 5 3 1 . 0 0 0 TXXX??振型歸一化，有 。? ? ? ?0 17 53 14TX ?第二次迭代時，令 ，再代入式（ ），有1 5 246 13 3 46 71 6 10 30 8 17 85 546 13 3 74 56 2 16 46 3 10 53 1. 21 56 1046 13 3 74 56 2 23 90 0 00 1. 28 37X ??? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1( 2 )1( 3 )11( 2 ) ( 3 )0. 6898 470 0. 6870 462 TTXXXX???歸一化后，有 ，重復(fù)以上過程，進行第三次迭代，有 ，結(jié)果已十分接近（ ）。21( , )i i i iiX X i i? ? ? ???所以，根據(jù) 表示第階振型 有0 1 1 2 2= nnX X X X? ? ? ? ? ? ?? ? ??? ?1 1 1 2 2 2= n n nX X X? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?同理可得0 1 1 1 2 2 2=k k k kn n nX X X X? ? ? ? ? ? ?? ? ??? ?1k?上式兩端同除以 ，有0 21 1 2 21111 = kkk nnnk X X X X??? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?1 2 1 21000nnkik? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??因為 ，即 ，也就是說：當(dāng) 充分大時， ，所以有10( ) 1 1 1kkkX X X? ? ???0111kkk X X???可見，經(jīng)過 次迭代后， 與第一振型的精確解 僅差常數(shù)項 ，而每次迭代后所作的歸一化處理又可以消除常數(shù)項的影響，故多次迭代后1( ) 1kXX?112=0= = 0i???振型迭代法不僅可以求解體系的基頻和一階振型，也能用來確定高階頻率和相應(yīng)的振型。按照這一規(guī)律，如果迭代前，令 ，迭代的最終結(jié)果將收斂于第二振型；令，將收斂于第三振型，以此類推。.1 .1.1rrrS? ? ??在實際迭代過程中，為了避免振型中可能含有的前 階振型分量,要求每次都要用清型后的矩陣來前乘。. 9 . 8例4 求例4 的第二振型與頻率。? ? ? ? 22 0 . 9 8 0 . 4 9 1 . 0 0 , 2 7 . 2 0 /TX r a d s?? ? ? ?結(jié)果有 子空間迭代法子空間迭代法也稱平行迭代法。矩陣迭代法每次只能求出矩陣的一個特征值和特征向量。121212()nppX X Xp p nn p Y Y Y R itzX X X??????????原理： 矩陣X 的原n 個線性無關(guān)的特征向量（振型） ， ， ，構(gòu)成一個n 維向量空間，先任取 個線性無關(guān)的向量形成的 維子空間 ， ， ， ，然后，反復(fù)使用 法和矩陣迭代法，使p 個試驗向量的低階振型分量不斷的相對放大，最總都向低階特征向量 ， ， ， 所形成的子空間靠攏。12 pp p n pX X X n p?? ? ? ??0子空間迭代具體過程：若要求X 的前 個特征值及其相應(yīng)的特征向量（ ），先取 個線性無關(guān)的向量 ， ， ， 構(gòu)成 的初始矩陣，并令此初始矩陣 為012== pX X X? ??? ? ? ???0 ， ， ，1= KM? ?用矩陣 左乘上式，有（ ） 1 =??? 0 （ ） 1?對 進行正交化處理，使其各列向量迭代后分別趨于不同階的振型，而不是都趨于第一振型，為此，令1= Z?? 1 （ ） 12= pZ Z Z Z Z?? ? ????式中， 為待定系數(shù)矩陣，可表示為 ， ，, ，利用廣義質(zhì)量和廣義剛度矩陣1 1 1 11 1 1 1()()TTMmKk?????? ??? ??（ ） pp?將原問題簡化為 階的特征值問題，因此有11KM? 2（ ）Z = 0 （ ） ? ? ? ? ? ?1 1 112, pp n pZ Z Z p???由于 ，因此，可求的 階自振頻率和對應(yīng)的待定系數(shù)向量的第一次近似值 ， ， 由此可求的體系 階振型的第一次近似值為1= Z?? 1? ? ? ? ? ?22 2 212,pR itzZ Z Zp?? ????1同理，再用 左乘 后得到 ，再利用 法求得待定系數(shù)向量的第二次近似值 ， ， 重復(fù)上述迭代過程，計算結(jié)果將收斂于體系的前 階振型和頻率。12 1 0 1 0 0 1 1 11 2 1 0 1 0 = 1 2 20 1 1 0 0 1 1 2 3K M K M? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?解： ， ，則取前兩階振型的初始近似值為01 5 5 5 1= = = = 1 5 5T? ? ????? ???????? ????00 ，利用1 5 1= 0 7 0 3???????????歸一化后，有 ，求解廣義質(zhì)量矩陣和廣義剛度矩陣1 1 1 1 1 . 8 3 3 6 0 . 6 5 0 1()0 . 6 5 0 1 1 . 5 5 5 6TMm ?? ????????1 1 1 1 0 . 3 6 5 0 . 1 3 3()0 . 1 3 3 2 . 1 1 1TKk ?? ????????11. 4 4 . 2 8 4 2 +0 . 7 5 2 8 = 0KM ???242若（ ）Z = 0 有非零解，則有2 4 3 6121 2 12 1 2= 0 .1 9 7 = 1 .5 5 50 .0 0 0 2 。若（ ）Z = 0 有非零解，則有3 . 4 1 6 9 5 . 9 8 9 7 + 1 . 0 5 2 1 =0??42121 2 12 1 22= 0 .1 9 8 = 1 .5 5 4 90 .0 6 0 6 。4 . 5 動力反應(yīng)數(shù)值分析方法()PtD u h a m e l F o u rie rD u h a m e l F o u rie r對結(jié)構(gòu)體系，當(dāng)外載 為解析函數(shù)時，采用時域分析方法中的 積分法或頻域分析法中的 變換方法等，一般都可以得到體系動力反應(yīng)的解。目前最常用最有效的數(shù)值方法就是時域內(nèi)的逐步積分法，或稱直接積分法、時程分析法，該方法是通過直接求解振動方程來確定結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)的方法。 中心差分法等 隱式方法：在每一步長給出新值的表達(dá)式中包含了與本步有關(guān)的 一個或多個值，所以，必須假定所需要的試驗值，然 后反復(fù)迭代才能求出下一步的初始值。穩(wěn)定性，當(dāng)計算總步長增大時，數(shù)值解評價逐步積分的優(yōu)劣標(biāo)準(zhǔn) 是否遠(yuǎn)離精確值。下 面 以 單 自 由 度 體 系 為 例 ， 簡 單 介 紹 其 中 的 幾 種 方 法 。 上 式 即 為 單 自 由 度 體 系 的 中 心 差 分 法 計 算 公 式 。3 ） 重 復(fù) 上 述 計 算 步 驟 可 得 體 系 在 整 個 時 間 段 的 動 力 反 應(yīng) 。 雖 然 中 心 差 分 法 是 有 條 件 穩(wěn) 定 的 ，但 由 于 其 為 顯 式 積 分 ， 具 有 計 算 效 率 高 的 優(yōu) 點 ， 在 很 多 情 況下 得 到 廣 泛 應(yīng) 用 。001()( ) .1( ) .1 .1.1.1iiiiututu t u ut???? ? ?在用平均常加速度法進行迭代時，在初始位移和初始速度 已知的條件下，先用式（4 39） 求出，再用式（4 37） 和式（4 38） 得到 、 ，然后利用式（4 33） 可得下一時刻 的位移、速度，為了避免誤差積累，加速度宜按式（4 36）直接計算。最后指出，平均常加速度法是加速度法中的一種，對于具有各種自振周期的結(jié)構(gòu)和取用各種時間步長時，此法都是穩(wěn)定的。重復(fù)上述迭代過程，便可求出整個時間范圍的全部振動反應(yīng)。. 5 . 4 N e w m a r k ??4 法11[ , ]( )( )iiiit t tu t t????????平均常加速度法的基本假定是：在時段內(nèi)，質(zhì)點的加速度 取時段開始于時段末的加速度平均值。1( ) ( )iiNe wm ark u t u t? ?? 法的特點是假定：加速度介于 和之間的某一常數(shù)，可表示為1( ) = ( ) + ( )iiu u t u t? ? ? ?（1 ）（ ） 1()( ) ( ) 0 1.01iiutu t u????? ????系數(shù) 可以理解為該時段內(nèi)加速度初始值 與終值對 的貢獻權(quán)重，故 同時，為了提高迭代精度，令取一個參數(shù) 將上式表示為1( ) = 2 ( ) + 2 ( )iiu u t u t? ? ? ?（1 ）（ ） it ?按式（4 5 3 ）可得 時刻的速度11( ) = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) + ( )i i i i iu t u t u t u t u t t u t t? ? ??? ? ? ?（1 ）（ ） it ?同理，按式（4 5 5 ），得 時刻的位移212211( ) = ( ) + ( )