單自由度系統(tǒng)在一般激勵下的受迫振動-展示頁
2025-06-23 23:39本頁面
【正文】 已知一周期性矩形波如圖所示，試對其作諧波分析。 這是將周期振動展開為傅里葉級數(shù)的另一個物理意義。這種分析振動的方法稱為頻譜分析。 周期函數(shù)的譜線是互相分開的，故稱為離散頻譜。第 6講 單自由度系統(tǒng)在一般激勵下的受迫振動 Mechanical and Structural Vibration 周期激勵作用下的受迫振動 任意激勵作用下的受迫振動 響應(yīng)譜 x t x t nT( ) ( )? ?周期振動 展成傅氏級數(shù) x t a a n t b n tn nn( ) ( c o s s i n )? ? ????01 112? ???????TnTnTttntxTbttntxTattxTa010100ds in)(2dc o s)(2d)(2??一個周期 T中的平均值 x t a A n tn nn( ) s i n ( )? ? ????0112? ?n=1,2,3,…… n=1,2,3,…… Tπ21 ??基頻 ,t a n22nnnnnn babaA ??? ?， 周期激勵作用下的受迫振動 Mechanical and Structural Vibration 一個周期振動可視為頻率順次為基頻 及整倍數(shù)的若干或無數(shù)簡諧振動分量的合成振動過程。 ?1 在振動力學(xué)中將傅氏展開稱為諧波分析 周期函數(shù)的幅值頻譜圖 ， 相位頻譜圖 。 周期振動的諧波分析 周期激勵作用下的受迫振動 Mechanical and Structural Vibration 函數(shù)的頻譜，說明了組成該函數(shù)的簡諧成分，反映了該周期函數(shù)的特性。 由于自變量由時間改變?yōu)轭l率，所以頻譜分析實際上是由時間域轉(zhuǎn)入頻率域。 周期振動的諧波分析 Mechanical and Structural Vibration 周期振動的諧波分析以無窮級數(shù)出現(xiàn) ， 但一般可以用有限項近似表示周期振動 。 解 ∶ 矩形波一個周期內(nèi)函數(shù) F (t)可表示為 F t f f( ) ? ????00π2π π0 ?? ?? tt表示 F(t)的波形關(guān)于 t軸對稱，故其平均值為零。在實際的振動計算中，根據(jù)精度要求，級數(shù)均取有限項。 周期振動的諧波分析 Mechanical and Structural Vibration 非周期函數(shù)的連續(xù)頻譜 函數(shù) f ( t )的傅氏積分公式 ??????? ttfG tj de)()( ???????? ?? ? de)(π2 1)( tjGtff ( t )的傅氏變換 G( )? 的傅氏逆變換 又稱非周期函數(shù) f ( t )的頻譜函數(shù)。 G( )?連續(xù)頻譜 ??? dede)(π2 1)( tjtj ttftf ? ?????????? ???????f ( t )稱為非周期函數(shù) Mechanical and Structural Vibration 例 試求圖示單個矩形脈沖的頻譜圖形 。實際應(yīng)用時，可使用計算機運算或應(yīng)用各種快速傅氏分析儀器 (FFT)。然后，求出系統(tǒng)對各個頻率的簡諧激勵的響應(yīng)。 設(shè)粘性阻尼系統(tǒng)受到周期激振力 F t F t T( ) ( )? ?F t a a n t b n tn nn( ) ( c o s s i n )? ? ????01 112? ?諧波分析方法，得到 系統(tǒng)的運動微分方程為 ??? kxtxct xm dddd 22 F t a a n t b n tn nn( ) ( c o s s i n )? ? ????01 112? ?周期 Tπ21 ??基頻 Mechanical and Structural Vibration 由疊加原理 ， 并考慮欠阻尼情況 ， 得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng) x t a k A n t B n tn n n nn( ) [ c o s ( ) s i n ( )]? ? ? ? ????01 112? ? ? ?????????????????????????n2nn12222222212t a n)2()1(1)2()1(1mpcmkppnkbBkaAnnnnnnnnnnn?????????????， Mechanical and Structural Vibration 例 彈簧質(zhì)量系統(tǒng) ， 受到周期性矩形波的激勵 。 (其中 ) nπ12pT ?6π2 n1pT ???F t f f( ) ? ????00π2π π0 ?? ?? tt解：周期性矩形波的基頻為 矩形波一個周期內(nèi)函數(shù) ????, .. . .3,110 s i n1π4)(ntnnftF ?將矩形波分解為 固有頻率 Mechanical and Structural Vibration ????, .. . .3,1 10 s in1π4)(ntnnftF ?n120, .. ..3,11,)1(
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