【正文】 gR gR????????? ? ? ?? ? ? ???????????????????? ? ? ?? ? ???（ b） ? ?? ?2 222322sin ( 1 c o s )2 1 c o s 2 ( 2 c o s )cI R R d mR d R??????? ? ? ? ? ????????????? ? ???? ? ? ???（ c） 殼體對 C 點的轉(zhuǎn)動慣量為 : 其中 ， dw是給定角 φ 位置的微元體重量， ρ是殼體單位面積的質(zhì)量。 對 c 點取矩 ， 可得系統(tǒng)的運動微分方程 。 圖 26 例 21題圖 單自由度系統(tǒng)的自由振動 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 ccIM? ?（ a） 分析 :本例運動方程的建立過程要比彈簧質(zhì)量系統(tǒng)復(fù)雜一些 ， 運用理論力學(xué)中平面運動的理論 ， 可建立系統(tǒng)的運動方程 。 自然頻率 通常也用每秒的循環(huán)次數(shù)表示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為 : 單自由度系統(tǒng)的自由振動 （ 214） （ 215） 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 00( ) c o s s innnnvx t x t t?????（ 216） 1 00ta nnvx? ???22 00nvAx????? ???? 下面給出用 初始條件 表示的積分常數(shù) A和 φ 的表達(dá)式 。 )0(x? 單自由度系統(tǒng)的自由振動 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 在簡諧振動中 ， 完成一個完整的運動周期所需的時間定義為 周期 T ? 周期 2nT ??? 從物理概念上講， T代表完成一個完整的振蕩所需的時間，事實上 T等于振動過程中相鄰的兩個完全相同的狀態(tài)所對應(yīng)的時間差，其單位為 秒 。方程 （ 213） 表明系統(tǒng)以為 ωn 頻率的簡諧振動 ， 這樣的系統(tǒng)又稱為簡諧振蕩器 。在（ 28）式中令， F (t) =0 ， c = 0 則有 : 其中 A1和 A2為積分常數(shù)，由系統(tǒng)的初始條件決定，即由初始位移 x(0)和初始速度 決定。可以證明（ 29）式具有如下形式的通解 : 2( ) ( ) 0nx t x t??? 2nkm? ? （ 29） 12( ) c os si nnnx t A t A t????（ 210） 無阻尼自由振動 本節(jié)首先討論單自由度系統(tǒng)的自由振動。 方程 （ 28） 的求解在振動理論中是十分重要的 。 ? 運動微分方程 單自由度系統(tǒng)的自由振動 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 ( ) ( ) ( ) ( )m x t c x t k x t F t? ? ? （ 28） ( ) ( ) ( ) ( )sdF t F t F t m x t? ? ?由于 ， 方程（ 27）變?yōu)?: )()( tkxtFs ? )()( txctF d ??（ 28） 式是一個 二階常系數(shù)常微分方程 。 圖 24 彈簧的組合 ? 彈性元件的組合 單自由度系統(tǒng)的自由振動 )( 1211 xxkF s ?? )( 1222 xxkF s ?? （ 21） )()()( 1212212121 xxkxxkxxkFFF eqsss ????????所以等效彈簧剛度為 （ 22） 21 kkk eq ??第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 1ne q iikk?? ??串 聯(lián)時彈簧的等效剛度 111neqi ikk?????????? 單自由度系統(tǒng)的自由振動 在圖 24（ b） 所示的串聯(lián)情況下 ， 可以得到如下關(guān)系 )( 101 xxkF s ?? )( 022 xxkF s ??將 x0 消掉，可得 )( 12 xxkF eqs ??12111????????? ??kkk eq（ 26） （ 25） （ 24） （ 23） 如果有 n 個彈簧串聯(lián)時 ， 可以證明有以下結(jié)論 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)的運動方程 圖 25 單自由度模型 單自由度彈簧 阻尼器 質(zhì)量系統(tǒng)可由圖 25（ a）表示 ， 下面用牛頓定律來建立系統(tǒng)的運動方程 。 m 的單位為千克（ kg ）。 單自由度系統(tǒng)的自由振動 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 在本書中 ， 如無特別說明 ， 所說的阻尼均指 粘滯阻尼 ， 其阻尼力 Fd 與阻尼器兩端的相對速度成正比 ， 如圖 22（ b） ， 比例系數(shù) c 稱為 粘性阻尼系數(shù)， 它的單位為牛頓 秒 /米 （ Ns/m） ， 阻尼器 通常用c 表示 。 ?由材料變形時材料內(nèi)部各平面間產(chǎn)生相對滑移或滑動引起內(nèi)摩擦所致的滯后阻尼。 常見的阻尼模型三種形式 : (a) (b) c 0 斜率 c dF 1x? 2x? dF 12 xx ?? ? dF 圖 22阻尼模型 ? 阻尼元件 ?由物體在粘性流體中運動時受到的阻力所致的粘滯阻尼。 單位為 （ N/m） 。 ? 構(gòu)成離散模型的元素 ? 彈性元件 圖 21 彈簧模型 單自由度系統(tǒng)的自由振動 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 當(dāng) x2x1 比較小時 ， 可以認(rèn)為彈簧力與彈簧變形量成正比 ， 比例系數(shù)為圖中曲線的斜率 k， 如果彈簧工作于彈簧力與其相對變形成正比的范圍內(nèi) ， 則稱彈簧為 線性彈簧 ， 常數(shù)稱為 彈簧常數(shù) k ， 或 彈簧剛度 。 如圖 21(a)所示 ， 彈簧力 Fs 與其相對變形 x2x1的典型函數(shù)關(guān)系如下圖 21（ b） 所示 。這類模型常用來作為較復(fù)雜系統(tǒng)的初步近似描述。 系統(tǒng)的自由度定義為能完全描述系統(tǒng)運動所必須的獨立的坐標(biāo)個數(shù)。第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 飛 行 器 結(jié) 構(gòu) 動 力 學(xué) 主講教師 文立華 西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院 飛行器設(shè)計工程系 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 西北工業(yè)大學(xué) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 飛 行 器 結(jié) 構(gòu) 動 力 學(xué) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)的自由振動 單自由度系統(tǒng)的強迫振動 單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)的自由振動 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)的自由振動 正如第一章所述 ， 振動系統(tǒng)可分為 離散模型 和 連續(xù)模型 兩種不同的類型 。 離散模型具有有限個自由度， 而連續(xù)模型則具有無限個自由度 。 在離散模型中，最簡單的是 單自由度線性系統(tǒng) ，它用一個二階常系數(shù)常微分方程來描述。 第 章 單自由度系統(tǒng)的振動第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 彈性元件最典型的例子是彈簧 ， 通常假定彈簧為無質(zhì)量元件 。 構(gòu)成 離散模型 的 元素 有三個 ， 彈性元件 、 阻尼元件 和 慣性元件 。 一般用 k 表示 。 圖 21 彈簧模型 單自由度系統(tǒng)的自由振動 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 阻尼元件 通常稱為 阻尼器 ，一般也假設(shè)為無質(zhì)量。 ?由相鄰構(gòu)件間發(fā)生相對運動所致的干摩擦（庫侖）阻尼。 粘滯阻尼是一種最常見的阻尼模型。 圖 22阻尼模型 單自由度系統(tǒng)的自由振動 (a) (b) c 0 斜率 c dF 1x? 2x? dF 12 xx ?? ? dF 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 慣性元件 就是離散系統(tǒng)的 質(zhì)量元件 ， 慣性力 Fm與質(zhì)量元件的加速度 成正比，如圖 23所示，比例系數(shù)就是質(zhì)量 m 。 )(tx??圖 23 質(zhì)量模型 ? 慣性元件 單自由度系統(tǒng)的自由振動 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 ? 并聯(lián)時彈簧的等效剛度 在實際工程系統(tǒng)中 ， 常常會有多個彈性元件以各種形式組合在一起的情況 ， 其中最典型的是并聯(lián)和串聯(lián)兩種形式 ，分別如圖 24（ a） 和 24（ b） 所示 。 繪系統(tǒng)的分離體圖如圖 25（ b） 。 常數(shù) m ， c， k是描述系統(tǒng)的 系統(tǒng)參數(shù) 。 用 F(t)表示作用于系統(tǒng)上的外力，用 x(t) 表示質(zhì)量 m 相對于平衡位置的位移，可得 : （ 2 7） 單自由度系統(tǒng)的自由振動 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 ωn稱為系統(tǒng)的無阻尼自然角頻率。在自由振動情況下， F (t) 恒等于零。 )0(x?? 運動方程 單自由度系統(tǒng)的自由振動 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 若引入 1 c osAA ?? 2 sinAA ?? （ 211） 可得 : 2212A A A?? 1 21ta n AA? ??蔣 (211)代入 (210)可導(dǎo)得 : ? ?( ) c os nx t A t???? （ 212） （ 213） A和 φ 也是積分常數(shù) ， 同樣由 x(0) 和 決定 。 （ 213） 式描述的是最簡單的一類振動 。 ? 自然頻率 12nnfT????自然頻率的單位為 赫茲 (HZ)。 引入符號 ， ， 利用方程 （ 210）不難證明簡諧振子對初始條件 x0和 v0 的響應(yīng)為 0 (0 )xx? )0(0 xv ?? 比較方程（ 211）和（ 216），并利用（ 212）式的關(guān)系，可以導(dǎo)出振幅 A與相角 φ 有如下形式 ? 積分常數(shù) A和 φ 的表達(dá)式 單自由度系統(tǒng)的自由振動 （ 217） 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 例 21 如圖 26 ，一個半徑為 R的半圓形薄殼，在粗糙的表面上滾動，試推導(dǎo)此殼體在小幅運動下的運動微分方程，并證明此殼體的運動象簡諧振子，計算振子的自然振動頻率。 設(shè)殼體傾斜角為 θ（ 如圖 26） ， 設(shè) c 為殼體與粗糙表面的接觸點 ， 在無滑動的情況下 ， 殼體瞬時在繞 c 點作轉(zhuǎn)動 。 解： 單自由度系統(tǒng)的自由振動 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 2222222si n si nc os 2 si ncM R dw gR dgR gR????????? ? ? ?? ? ? ???????????????????? ? ? ?? ? ???（ b） 其中 ， IC為繞點 C的轉(zhuǎn)動慣量 ， MC為重力作用下的恢復(fù)力矩 。 單自由度系統(tǒng)的自由振動 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 當(dāng)殼體作 小幅振動 時 ， 即 θ很小時 ， 引入近似表達(dá)式sinθ≈θ， cosθ≈1 ， 并將 （ b） 、 （ c） 兩式代入 （ a） 中 ， 得到: ? ?322 2 2R gR? ? ? ? ?? ? ? （ d） ? ? 02gR??????（ e） ? ?2ngR? ?? ?（ f） 整理可得 : （ e）式表明，當(dāng) θ很小時，系統(tǒng)運動的確象 簡諧振子 ，其自然頻率 為 : ccIM? ? （ a） 單自由度系統(tǒng)的自由振動 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 2( ) 2 ( ) ( ) 0nnx t x t x t? ? ?? ? ?（ 218b） () stx t A e?（ 219） 2220nnss? ? ?? ? ?(220) 有阻尼自由振動 有阻尼自由振動方程 : 其中， 稱為粘性阻尼因子。 （ 221） 圖 27 s1 、 s2