【正文】 n ??? c o s)()( 22 ???? （ 262） ????????????????????????tinAetx???211Re)( （ 261） ? 簡(jiǎn)諧振子的共振響應(yīng) 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 不難證明系統(tǒng)有如下特解 ttAtx nn ?? s i n2)( ?（ 263） 此式表明，解是一幅值隨時(shí)間線性增加的振蕩響應(yīng)，這隱含了隨著時(shí)間的增大，解將趨于無(wú)窮。 圖 215 簡(jiǎn)諧激勵(lì)的相位 即 ω /ωn＜ 1時(shí)響應(yīng)同相， ω /ωn＞ 1時(shí)響應(yīng)反相。 ? 對(duì)于 ω /ωn＜ 1情況隨 ω /ωn減小 ，相角趨于零 。從 的 φ= 0 跳到 ω /ωn＞ 1時(shí)的 φ= π 。根據(jù)（ 258）式和（ 259）式，（ 250）式可寫(xiě)為 ? ? ? ?? ???? ?? ??? titi e)(HARee)(AHRe)t(x （ 260） ? 相角 φ 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 從（ 260）式和圖 215可以看出 : ? 對(duì)應(yīng)于不同 ζ值的所有曲線均在 ω /ωn=1處通過(guò)共同點(diǎn) 。半功率點(diǎn)所對(duì)應(yīng)頻率之差稱為 半功率點(diǎn)帶寬 ，在小阻尼情況下，不難證明，半功率點(diǎn)帶寬 Δ ω 取如下值 2/Qn????? 212 ????（ 256） 比較（ 255）和（ 256）式，可得 1221???? ???nQ（ 257） （ 257）式給出了一種快速估計(jì) Q 和 ζ 值的方法。 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 在微小阻尼情況下 ， 如 ζ＜ 0 .05， ︱ H (ω) ︱ 的極大值的位置幾乎與 ω /ωn=1相差無(wú)幾 ， 引入符號(hào) ︱ H (ω) ︱ max=Q ， 在微小阻尼情況下 ， 有 ?21?Q （ 255） ? 品質(zhì)因子 Q tAtfmktxtxtx nnn ????? c os)()()(2)( 22 ???? ???（ 242） Q通常稱為 品質(zhì)因子 。 對(duì)（ 253）式求導(dǎo)，并令其等于零，可得到曲線峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的ω 值 ? 當(dāng) ζ=0時(shí)，對(duì)應(yīng)于無(wú)阻尼情況，此時(shí)系統(tǒng)的齊次微分方程就是 簡(jiǎn)諧振子 。 ? n??/ 從圖中可見(jiàn)，阻尼使系統(tǒng)的振幅值減小，也使峰值相對(duì)于 的位置左移。這里 中的 是由靜平衡位置算起的。 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng) ????????????????????????????????????nntinntiniAeiAetx?????? ? ??????21Re2Re)(2222（ 250） 由上式可見(jiàn)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng) x(t)與激振力 f(t) 成正比，且比例因子為 nniH??????211)(2??????????? （ 251） 這稱為 復(fù)頻響應(yīng) . 在復(fù)數(shù)表示情況下，系統(tǒng)響應(yīng)和激勵(lì)滿足關(guān)系 tinnnn Aetftxtxtx ?????? 222 )()()(2)( ???? ???（ 249） 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 由（ 251）式，可見(jiàn) 的模 等于響應(yīng)幅值和激勵(lì)幅值 的無(wú)量綱比，即 )(?H)(?HA21222211)(?????????????????????????????????????????????nnH?????? 常稱為 幅值因子 。 式中 A 一般為復(fù)數(shù) 。 解（ 245）式可得 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 典型的激勵(lì)與響應(yīng)關(guān)系曲線如圖 213所示。 ?式（ 242）的特解也就是強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)不會(huì)隨時(shí)間衰減，所以稱為 穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 。 對(duì)于線性系統(tǒng)，根據(jù)疊加原理，可以分別求系統(tǒng)對(duì)于初始條件的響應(yīng)和對(duì)于外部激勵(lì)的響應(yīng)，然后再合成為系統(tǒng)的總響應(yīng)。如果假設(shè)其他類型的變形模式，影響效果則有可能不同。 ??tx L? ??d ? ? ? ?txL/??m 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) ? ? ? ?)()3(213)(21)(2121212023222202txLmLtxtxmdtxLtxmTLL??????????????????????? ?（ 235） )(21 2 tkxV ?（ 236） 根據(jù)能量守恒原理 ? ?0??? dt VTddtdE（ 237） 則系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能可分別表示為 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 可得 0)()( ?? tkxtxm e f f ??（ 238） 此處 稱為 等效質(zhì)量 。 解 :設(shè) ，則 5?j1161 ????xxxx? 由（ 231）、（ 232）式分別得到： ? ? ? ? ? ? 2 222231??????????? ? 02 20 13 86 232 ??? ???? 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 彈簧的等效質(zhì)量 在圖 212中，設(shè)彈簧 具有質(zhì)量，其單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為 ，那么彈簧的質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)有多大影響呢？下面就來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題。 從而得到 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 對(duì)于微小阻尼情況，（ 231）式可近似為 ???2?（ 232） 值得注意的是， 可以通過(guò)測(cè)量相隔任意周期的兩對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位移 ， 來(lái)確定。 ??圖 211ζ＞ 1時(shí) x(t)的一般規(guī)律 在圖 211中 ， 設(shè) t1 和 t2表示兩相鄰周期中相距一個(gè)完整周期 T 的兩對(duì)應(yīng)點(diǎn)的時(shí)間 。 n?? 0v)(tx 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 對(duì)數(shù)衰減率 如前所述，在小阻尼情況下粘性阻尼使振動(dòng)按指數(shù)規(guī)律衰減，而指數(shù)本身又是阻尼因子 的線性函數(shù)。 1??1?? 01??? 0)0( ?x 0)0( vx ??12 AA ?? 解 : 對(duì)于 ，用（ 222）式有 ，所以 0)0(21 ??? AAx1??（ a） 因此 ,系統(tǒng)響應(yīng)應(yīng)有如下形式 teAtx ntn ???? 1s i n h2)( 21 ?? ?（ b） 因此，系統(tǒng)響應(yīng)對(duì)（ b）式求導(dǎo)，并代入初始條件 可得 0(0 )xv?nvA?? 12201 ?? （ c） 可得 時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng) 1??tevtx ntnn ?????? 1s i n h1)( 220 ??? ?（ d） 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 對(duì)于 ，從（ 223）式中容易導(dǎo)出 和 ，所以此時(shí)的響應(yīng)為 : 1?? 01 ?A 02 vA ?tntevtx ??? 0)(（ e） 對(duì)于 ，在（ 227）式中用初始條件 得 ，幅值則與初始速度有關(guān)， ，因此（ 227）簡(jiǎn)化為 : 10 ?? ? 0)0( ?x 2/?? ?dvA ?/0?tevtx dtdn ???? s i n)( 0 ??21 ??? ?? nd （ f） 表達(dá)式（ d）、（ e）、（ f）分別對(duì)應(yīng)于大阻尼、臨界阻尼和小阻尼的情況，其圖形分別見(jiàn)圖 28～ 210。很明顯，當(dāng) t→∞ ， x(t) → 0，因此響應(yīng)最終趨于消失。 稱為 小阻尼 或 欠阻尼 情況 。 212 )1( ??? ??nd由于 : ???????? titetiteddtiddtidd??????s i nc oss i nc os（ 225） 0 ＜ ζ ＜ 1時(shí)，解（ 222）可改寫(xiě)成如下形式： ? ? ? ?? ?221212( ) e x p 1 e x p 1 nd d ntnni t i t tx t A i t A i t eA e A e e??? ? ? ?? ? ? ? ?????? ? ? ? ??????? （ 224） ? 小阻尼（ 0 ＜ ζ ＜ 1） 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 方程（ 224）簡(jiǎn)化成 )c o s ()( ???? ?? ? tAetx dtn（ 227） 可見(jiàn)上式表示的運(yùn)動(dòng)為振動(dòng) ， 頻率為常值 ， 相角為 ， 而幅值為 ， 以指數(shù)形式衰減 。 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 2220nnss? ? ?? ? ?（ 220） 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 圖 28 ζ ＞ 1 時(shí) x(t) 曲線 ζ ＞ 1 、 ζ =1時(shí)系統(tǒng)的自由振動(dòng)如圖 28圖 29 。 在特殊情況 ζ =1,方程 （ 220） 有一個(gè)重根 ， s1=s2=－ ωn ，不難證明在這種情況下 ， 系統(tǒng)有如下形式的解 : tAAtx ???? )()( 21（ 223） ? 由表達(dá)式 可見(jiàn)當(dāng) ζ =1時(shí)，臨界粘性阻尼 /2 ncm???kmmc ncr 22 ?? ?? 臨界阻尼（ ζ =1） ? 臨界阻尼是 ζ ＞ 1和 ζ ＜ 1的一個(gè)分界點(diǎn)，應(yīng)該注意到， ζ =1時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)趨近于平衡位置的速度是最大的。 ζ ＞ 1的情況稱為 大阻尼 或 過(guò)阻尼。 ?當(dāng) ζ =1時(shí)，特征方程的根 s1 、 s2為－ ωn ，落在實(shí)軸上。 iωn ，此時(shí)系統(tǒng)就是簡(jiǎn)諧振子。 ? 參數(shù) ζ對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響。設(shè)（ 218b）式的解有如下形式 : nmc ?? 2/?將（ 219）代入（ 218b）中，可得代數(shù)方程 ? 有阻尼自由振動(dòng)方程 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) ( ) ( ) ( ) 0m x t c x t k x t? ? ?（ 218a） 寫(xiě)成 : 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 2220nnss? ? ?? ? ?(220) 這就是系統(tǒng)的特征方程，它是 s 的二次方程，有兩個(gè)解： ? ?12 2 1ssn? ? ?? ? ? ? 很明顯 ， s s2 的性質(zhì)取決于阻尼因子 ζ ，其相互關(guān)系可以從 s 平面，即復(fù)平面上得到反映（如圖 27）。 為方便起見(jiàn) ，設(shè)殼體的長(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度 ， 由圖 26， 對(duì)于給定的 θ， 對(duì) C點(diǎn)的恢復(fù)力矩 MC 有如下形式： ccIM? ?（ a） 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 2222222si n si nc os 2 si ncM R dw gR d