單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)-文庫(kù)吧資料
2025-06-20 23:40本頁(yè)面
【正文】 ??????? )21( 22 klpllgP ?????? )21( 22 klpllgP ?????小球重 P，剛接于桿的一端，桿的另一端鉸接于 O點(diǎn)。 此時(shí) ， 彈性力 Fst=k ?st ,方向向上 。 ?221 ?BI系統(tǒng)的動(dòng)能 設(shè)系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng) ， 則其運(yùn)動(dòng)方程 )s i n ( ?? ?? tpn?角速度為 )c o s (dd ??? ???? tppt nn222m a xm a x2121nBB pIIT ??? ?系統(tǒng)的最大動(dòng)能為 計(jì)算固有頻率的能量法 Mechanical and Structural Vibration 如取平衡位置為系統(tǒng)的勢(shì)能零點(diǎn) 。 解 ： 這是單自由度的振動(dòng)系統(tǒng)。重物 P連同桿 BD對(duì)于支點(diǎn) B的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 IE ,求重物 P在鉛直方向的振動(dòng)頻率。 如果取平衡位置 O為勢(shì)能的零點(diǎn) ， 系統(tǒng)在任一位置 ?????????2221dd21kxVtxmT 計(jì)算固有頻率的能量法 Mechanical and Structural Vibration 當(dāng)系統(tǒng)在平衡位置時(shí)， x=0,速度為最大，勢(shì)能為零，動(dòng)能具有最大值 Tmax； 當(dāng)系統(tǒng)在最大偏離位置時(shí)，速度為零，動(dòng)能為零，而勢(shì)能具有最大值 Vmax。 無(wú)阻尼單自由振動(dòng)系統(tǒng)中 ， 勢(shì)能與動(dòng)能之和保持不變 。 0dd 222?? ?? nptOnn Ikp ?固有圓頻率 扭轉(zhuǎn)振動(dòng) 無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng) Mechanical and Structural Vibration 圖 (a)所示為扭振系統(tǒng)兩個(gè)軸并聯(lián)的情況；圖 (b)為兩軸串聯(lián)的情況；圖 (c)則為進(jìn)一步簡(jiǎn)化的等效系統(tǒng) 。 圓軸的抗扭剛度系數(shù)為 kn，表示使圓盤產(chǎn)生單位扭角所需的力矩。 OA 為一鉛直圓軸，圓盤對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 IO。 扭轉(zhuǎn)振動(dòng) 等效系統(tǒng) 內(nèi)燃機(jī)的曲軸、輪船的傳動(dòng)軸等，在運(yùn)轉(zhuǎn)中常常產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，簡(jiǎn)稱扭振。如緩沖器質(zhì)量不計(jì)，斜面摩擦不計(jì)，小車碰撞后，系統(tǒng)的自由振動(dòng)周期為： （ A） （ B） gkPT ?? s in2?（ C） ?? s in2 gkPT ?（ D） gkPT ?2? （ D） 練 習(xí) Mechanical and Structural Vibration 將一剛度系數(shù)為 k，長(zhǎng)為 l的彈簧截成等長(zhǎng)（均為 l/2）的兩段，則截?cái)嗪竺扛鶑椈傻膭偠认禂?shù)均為 （ A） k （ B） 2k （ C） k/2 （ D） 1/(2k) 答（ B）。由彈簧 質(zhì)量系統(tǒng)計(jì)算固有圓頻率的公式，計(jì)算出系統(tǒng)沿鉛垂方向振動(dòng)的固有圓頻率為 mKKK 321 ??要點(diǎn)：串聯(lián)、并聯(lián)彈簧的等效剛性系數(shù)計(jì)算和等效彈簧 質(zhì)量系統(tǒng)。 （ A） （ B） （ C） （ D） 答案： [A] 習(xí) 題 Theoretical Mechanics 答案： [A] 點(diǎn)評(píng)： 由圖知三根彈簧為并聯(lián)關(guān)系。 stπ21?gf ? 等效剛度系數(shù) 無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng) 解 ：當(dāng)梁的質(zhì)量可以略去不計(jì)時(shí)，梁可以用一根彈簧來(lái)代替，于是這個(gè)系統(tǒng)簡(jiǎn)化成彈簧 — 質(zhì)量系統(tǒng)。 C 等效剛度系數(shù) 無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng) Mechanical and Structural Vibration 先將剛度系數(shù) k2換算至質(zhì)量 m所在處 C的等效剛度系數(shù) k?。 解 ：將各彈簧的剛度系數(shù)按靜力等效的原則，折算到質(zhì)量所在處。 當(dāng)物塊在靜平衡位置時(shí) ， 它的靜位移 ?st等于每根彈簧的靜變形之和 ， 即 ?st = ?1st + ?2st 由于每根彈簧所受的拉力都等于重力 mg， 故它們的靜變形分別為 1st1 kmg??2st2 kmg??如果用一根彈簧剛度系數(shù)為 k 的彈簧來(lái)代替原來(lái)的兩根彈簧，此彈簧的靜變形等于 kmg?st? 等效剛度系數(shù) 無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng) Mechanical and Structural Vibration 如果用一根彈簧剛度系數(shù)為 k 的彈簧來(lái)代替原來(lái)的兩根彈簧，此彈簧的靜變形等于 kmg?st?21111kkk ?? kk kk k? ?1 21 2k稱為串聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù) 1st1 kmg??2st2 kmg??串聯(lián)后的彈簧剛度系數(shù)的倒數(shù)等于各串聯(lián)彈簧剛度系數(shù)倒數(shù)的算術(shù)和 )(π21π212121kkmkkmkf??? 等效剛度系數(shù) 無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng) Mechanical and Structural Vibration 組合彈簧的等效剛度 例 質(zhì)量為 m的物塊懸掛如圖所示。 系統(tǒng)的固有頻率 mkkmkf 21π21π21 ??? 等效剛度系數(shù) 無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng) Mechanical and Structural Vibration （ 2）串聯(lián)情況。處于平衡位置時(shí)，兩根彈簧的靜變形都是?st，而彈性力分別是 st11 ?kF ? st22 ?kF ?系統(tǒng)平衡方程是 0?? xFst2121 )( ?kkFFmg ???? 等效剛度系數(shù) Mechanical and Structural Vibration 無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng) 如果用一根彈簧剛度系數(shù)為 k的彈簧來(lái)代替原來(lái)的兩根彈簧 ，使該彈簧的靜變形與原來(lái)兩根彈簧所產(chǎn)生的靜變形相等 ， 則 st?kmg ?21 kkk ??st2121 )( ?kkFFmg ????k稱為 并聯(lián)彈簧的等效 剛度系數(shù)。彈簧并聯(lián)的特征是： 二彈簧變形相等 。－初始廣義坐標(biāo)；－振動(dòng)的位相；振動(dòng)的振幅；－系統(tǒng)的固有頻率；＝0000n2020eqeqa r c t a n vqqqppvqAmkpnn??????????????等效的概念 等效剛度系數(shù) Mechanical and Structural Vibration 無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng) 串聯(lián)彈簧與并聯(lián)彈簧的等效剛度 例 在圖中，已知物塊的質(zhì)量為 m，彈簧的彈簧剛度系數(shù)分別為 kk2，分別求并聯(lián)彈簧與串聯(lián)彈簧直線振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率。需要在這一坐標(biāo)方向施位移，廣義坐標(biāo)方向產(chǎn)生單位－等效剛度：使系統(tǒng)在eqk向施加的力或力矩。因此，通常將頻率 f 稱為固有頻率，圓頻率 pn稱為固有圓頻率。 另一種形式 無(wú)阻尼的自由振動(dòng)是以其靜平衡位置為振動(dòng)中心的簡(jiǎn)諧振動(dòng) 初相位角 振 幅 自由振動(dòng)方程 Mechanical and Structural Vibration 無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng) 振幅、初相位和頻率 系統(tǒng)振動(dòng)的周期 kmpT n π2π2 ??系統(tǒng)振動(dòng)的頻率 mkpTfn π2π21 ???系統(tǒng)振動(dòng)的圓頻率為 fpn π2?圓頻率 pn 是物塊在自由振動(dòng)中每 2? 秒內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)。 當(dāng)物塊在靜平衡位置時(shí) ， 由平衡條件 ， 得到 st?km
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