單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)(文件)
【正文】 n 彈簧的總動(dòng)能 2ss0s dd321dtxmTT l ?? ?2s2s2dd321dd321dd21txmmtxmtxmT ?????? ????系統(tǒng)的總動(dòng)能為 seq 31 mm ?系統(tǒng)的勢(shì)能為 221 kxV ?固有頻率為 3sn mmkp??)c o s ( n ??? tpAx設(shè) m a xm a x VT ?l ? d? 瑞利法 Mechanical and Structural Vibration 有阻尼系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 第 1章單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) Mechanical and Structural Vibration 阻尼 －系統(tǒng)中存在的各種阻力：干摩擦力，潤(rùn)滑 表面阻力，液體或氣體等介質(zhì)的阻力、材料內(nèi)部的 阻力。s/m)。 設(shè) cc為臨界阻尼系數(shù) ， 由于 z =n/pn =1， 即 kmmpnmc nc 222 ???z 阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)的比值，是 z 稱(chēng)為阻尼比的原因。 顯然 ， 只有臨界阻尼器才能滿(mǎn)足這種 要求 。衰減運(yùn)動(dòng)的頻率為 p d， 衰減速度取決于 zp n， 二者分別為本征值的虛部和實(shí)部。 欠阻尼自由振動(dòng)的周期 Td ： 物體由最大偏離位置起經(jīng)過(guò)一次振動(dòng)循環(huán)又到達(dá)另一最大偏離位置所經(jīng)過(guò)的時(shí)間。當(dāng)材料的阻尼比 z1時(shí)，可近似認(rèn)為有阻尼自由振動(dòng)的周期與無(wú)阻尼自由振動(dòng)的周期相等。 ?? dnT? 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 阻尼對(duì)振幅的影響 Mechanical and Structural Vibration 振幅減縮率的自然對(duì)數(shù)稱(chēng)為 對(duì)數(shù)減縮率 或?qū)?shù)減幅系數(shù) ， 以 ? 表示 ?? ln?z? π2?例 在欠阻尼（ z 1）的系統(tǒng)中，在振幅衰減曲線的包絡(luò)線上，已測(cè)得相隔 N個(gè)周期的兩點(diǎn) P、 R的幅值之比 xP/xR=?，如圖所示，試確定此振動(dòng)系統(tǒng)的阻尼比 z。 044 ??? kxxcxm ???解：畫(huà)車(chē)身鉛垂振動(dòng)的受力圖， 坐標(biāo) x的原點(diǎn)為車(chē)身的靜平衡位置，車(chē)身的運(yùn)動(dòng)微分方程為 練 習(xí) Mechanical and Structural Vibration 044 ??? kxxcxm ???dnTAA 231 e?,2121 ?????? ???AAAA由已知條件和定義，得： 取對(duì)數(shù)得， dnTAA 2ln31 ? ?＝ 2 1π2,π211,222st????????????z??z??ndn Tgs / ,s/14 5 ????? ncdmcTn ??例 題 簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) Mechanical and Structural Vibration 一個(gè)有阻尼的彈簧 質(zhì)量系統(tǒng)，質(zhì)量為 10 kg，彈簧靜伸長(zhǎng)是 1cm，自由振動(dòng) 20個(gè)循環(huán)后，振幅從 cm減至 ，求阻尼系數(shù) c。由動(dòng)量矩定理，列系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為： 223 0c k am m l? ? ??? ? ? ? 22233,2n k a cpnml m??。寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)微分方程，并求臨界阻尼系數(shù)和阻尼固有頻率的表達(dá)式。 例如 ， 經(jīng)過(guò) 10個(gè)周期測(cè)得 P、 R兩點(diǎn)的幅值比 ?=2， 將 N= ?=2代入上式 ， 得到該系統(tǒng)的阻尼比 2ln ??zNN π2lnlnπ2 ?z?z ????zz ln1π22??NMechanical and Structural Vibration 21π2 z?? nd pT 練 習(xí) Mechanical and Structural Vibration 質(zhì)量為 500 kg的機(jī)器安裝在一根彈簧上，使彈簧產(chǎn)生 mm的靜變形。如仍以 z =，算得 ,物體每振動(dòng)一次，振幅就減少 27%。通常 z 很小，阻尼對(duì)周期的影響不大。 有阻尼的自由振動(dòng)視為準(zhǔn)周期振動(dòng)。 221j npp nd ????)s i nc o s(e 21 tpCtpCx ddnt ?? ?其中 C1和 C2為積分常數(shù)，由物塊運(yùn)動(dòng)的起始條件確定。由 Mechanical and Structural Vibration 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 具有臨界阻尼的系統(tǒng)與過(guò)阻尼系統(tǒng)比較 ， 它為最小阻尼系 統(tǒng) 。以靜平衡位置 O為坐標(biāo)原點(diǎn)，選 x軸鉛直向下為正，有阻尼的自由振動(dòng)微分方程 kxtxct xm ??? dddd 220dd2dd 222??? xptxntxn特征方程 02 22 ???npnrr?????????????222221nnpnnrpnnr特征根 有阻尼系統(tǒng)的衰減振動(dòng) mkpn ?22n cm?衰減系數(shù)，單位 1/秒 (1/s) rtex ?Mechanical and Structural Vibration 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 特征根 與運(yùn)動(dòng)微分方程的通解的形式與阻尼有關(guān) 強(qiáng)阻尼（ npn）情形 臨界阻尼 (n = pn )情形 22npnnr ????阻尼對(duì)自由振動(dòng)的影響 )ee(e 2222 21 tpntpnnt nn CCx ???? ??nrr ??? 21 )(e21 tCCx nt ?? ??????????????222221nnpnnrpnnr 特征根 運(yùn)動(dòng)微分方程 0dd2dd 222??? xptxntxnMechanical and Structural Vibration 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 臨界情形是從衰減振動(dòng)過(guò)渡到非周期運(yùn)動(dòng)的臨界狀態(tài) 。 它與物體的形狀、尺寸及介質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)，單位是牛頓 求彈簧的等效質(zhì)量及系統(tǒng)的固有頻率 。 應(yīng)用瑞利法 ， 首先應(yīng)假定系統(tǒng)的振動(dòng)位形 。如桿及彈簧的質(zhì)量不計(jì)，小球可視為一質(zhì)點(diǎn)，則系統(tǒng)作微擺動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)微分方程為（ ）。 此時(shí) ， 彈性力 Fst=k ?st ,方向向上 。 解 ： 這是單自由度的振動(dòng)系統(tǒng)。 如果取平衡位置 O為勢(shì)能的零點(diǎn) ， 系統(tǒng)在任一位置 ?????????2221dd21kxVtxmT 計(jì)算固有頻率的能量法 Mechanical and Structural Vibration 當(dāng)系統(tǒng)在平衡位置時(shí)， x=0,速度為最大，勢(shì)能為零，動(dòng)能具有最大值 Tmax； 當(dāng)系統(tǒng)在最大偏離位置時(shí)，速度為零，動(dòng)能為零，而勢(shì)能具有最大值 Vmax。 0dd 222?? ?? nptOnn Ikp ?固有圓頻率 扭轉(zhuǎn)振動(dòng) 無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng) Mechanical and Structural Vibration 圖 (a)所示為扭振系統(tǒng)兩個(gè)軸并聯(lián)的情況；圖 (b)為兩軸串聯(lián)的情況；圖 (c)則為進(jìn)一步簡(jiǎn)化的等效系統(tǒng) 。 OA 為一鉛直圓軸
教學(xué)教案相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1