【正文】 來決定。 左端距離為 ? 的截面的位移為 ， 則 d? 彈簧的動(dòng)能為 xl?2sddd21d ???????txllmTs??l ? d? 假設(shè)彈簧各點(diǎn)在振動(dòng)中任一瞬時(shí)的位移和一根直桿在一端固定另一端受軸向載荷作用時(shí)各截面的靜變形一樣， 解：令 x表示彈簧右端的位移，也是質(zhì)量 m的位移。設(shè) t = 0時(shí)， 可解 00 vvxx ?? ，dpvnxC 002??C1=x0 Mechanical and Structural Vibration 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 000220020t a n)(nxvpxpnxvxAdd??????)s i n (e ??? ? tpAx dnt另一種形式 初相位角 振 幅 阻尼振動(dòng)振幅；－－ ntA e 這種情形下，自由振動(dòng)不是等幅簡(jiǎn)諧振動(dòng)，是按負(fù)指數(shù)衰減的衰減運(yùn)動(dòng)。為了使系統(tǒng)達(dá)到臨界阻尼狀態(tài)，求加在系統(tǒng)上并與彈簧并聯(lián)的粘性阻尼器的阻尼系數(shù)是多少？ 2STN9 . 8 1r a ds 8 0 . 90 . 0 0 1 5 m sngp ? ? ??22 nnc c m pmpzz? ? ?msN108 .0 9sr a d8 0 . 9)500)(1(2 4 ?????????? kgc解：靜變形與固有頻率的關(guān)系為 由附加的粘性阻尼器的阻尼系數(shù) c導(dǎo)出的阻尼比為 當(dāng)阻尼比為 1時(shí)，系統(tǒng)處于臨界衰減，則此時(shí)的阻尼系數(shù)為臨界阻尼系數(shù)，即 練 習(xí) Mechanical and Structural Vibration 質(zhì)量為 m = 2450kg的汽車，壓在 4個(gè)車輪彈簧上，可使每個(gè)彈簧壓縮 ?st = 150mm，當(dāng)每個(gè)彈簧都并聯(lián)上一個(gè)粘性阻尼器后，振幅衰減為 A1/A3 = 10；求 1）振幅減縮率 ? 和對(duì)數(shù)減縮率? ； 2）衰減系數(shù) n = c/2m和衰減振動(dòng)的周期 Td； 3）臨界阻尼系數(shù) cc。由此可見 ，在欠阻尼情況下，周期的變化雖然微小，但振幅的衰減卻非常顯著 ，它是按幾何級(jí)數(shù)衰減的。 因此質(zhì)量 m將以最短的時(shí)間回到靜平衡位置 ， 并不作 振動(dòng)運(yùn)動(dòng) ， 臨界阻尼的這種性質(zhì)有實(shí)際意義 ， 例如大炮發(fā) 射炮彈時(shí)要出現(xiàn)反彈 ， 應(yīng)要求發(fā)射后以最短的時(shí)間回到原 來的靜平衡位置 ， 而且不產(chǎn)生振動(dòng) ， 這樣才能既快又準(zhǔn)確 地發(fā)射第二發(fā)炮彈 。 2eqs dd21txmT ?等效質(zhì)量 l 對(duì)于圖示系統(tǒng) ， 假設(shè)彈簧上各點(diǎn)在振動(dòng)過程中任一瞬時(shí)的位 移與一根等直彈性桿在一端固定另一端受軸向力作用下各截 面的靜變形一樣 。 由于系統(tǒng)的機(jī)械能守恒 m a xm a x VT ?用能量法計(jì)算固有頻率的公式 計(jì)算固有頻率的能量法 Mechanical and Structural Vibration 例 船舶振動(dòng)記錄儀的原理圖如圖所示。因此，可計(jì)算出三根并聯(lián)彈簧的等效剛性系數(shù)為 K = K1+K2+K3。 解：（ 1）并聯(lián)情況。 非線性振動(dòng)的疊加原理不成立。 振動(dòng)屬于動(dòng)力學(xué)第二類問題 －已知主動(dòng)力求運(yùn)動(dòng)。 機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動(dòng) Mechanical and Structural Vibration 線性振動(dòng)：相應(yīng)的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。需要在這一坐標(biāo)方向施位移，廣義坐標(biāo)方向產(chǎn)生單位－等效剛度：使系統(tǒng)在eqk向施加的力或力矩。 stπ21?gf ? 等效剛度系數(shù) 無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng) 解 ：當(dāng)梁的質(zhì)量可以略去不計(jì)時(shí)，梁可以用一根彈簧來代替，于是這個(gè)系統(tǒng)簡(jiǎn)化成彈簧 — 質(zhì)量系統(tǒng)。 無阻尼單自由振動(dòng)系統(tǒng)中 ， 勢(shì)能與動(dòng)能之和保持不變 。利用動(dòng)量矩定理，建立小球繞 O點(diǎn)作微擺動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)微分方程為 Theoretical Mechanics 返回首頁(yè) ??? )21( 22 klpllgP ?????要點(diǎn)：利用普遍定理建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。 設(shè) cc為臨界阻尼系數(shù) ， 由于 z =n/pn =1， 即 kmmpnmc nc 222 ???z 阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)的比值，是 z 稱為阻尼比的原因。當(dāng)材料的阻尼比 z1時(shí)，可近似認(rèn)為有阻尼自由振動(dòng)的周期與無阻尼自由振動(dòng)的周期相等。寫出運(yùn)動(dòng)微分方程，并求臨界阻尼系數(shù)和阻尼固有頻率的表達(dá)式。 有阻尼的自由振動(dòng)視為準(zhǔn)周期振動(dòng)。 它與物體的形狀、尺寸及介質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)，單位是牛頓 此時(shí) ， 彈性力 Fst=k ?st ,方向向上 。 OA 為一鉛直圓軸，圓盤對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 IO。 當(dāng)物塊在靜平衡位置時(shí) ， 它的靜位移 ?st等于每根彈簧的靜變形之和 ， 即 ?st = ?1st + ?2st 由于每根彈簧所受的拉力都等于重力 mg， 故它們的靜變形分別為 1st1 kmg??2st2 kmg??如果用一根彈簧剛度系數(shù)為 k 的彈簧來代替原來的兩根彈簧，此彈簧的靜變形等于 kmg?st? 等效剛度系數(shù) 無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng) Mechanical and Structural Vibration 如果用一根彈簧剛度系數(shù)為 k 的彈簧來代替原來的兩根彈簧，此彈簧的靜變形等于 kmg?st?21111kkk ?? kk kk k? ?1 21 2k稱為串聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù) 1st1 kmg??2st2 kmg??串聯(lián)后的彈簧剛度系數(shù)的倒數(shù)等于各串聯(lián)彈簧剛度系數(shù)倒數(shù)的算術(shù)和 )(π21π212121kkmkkmkf??? 等效剛度系數(shù) 無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng) Mechanical and Structural Vibration 組合彈簧的等效剛度 例 質(zhì)量為 m的物塊懸掛如圖所示。 當(dāng)物塊在靜平衡位置時(shí) ， 由平衡條件 ， 得到 st?kmg ?無阻尼自由振動(dòng)微分方程 彈簧的靜變形 固有圓頻率 Mechanical and Structural Vibration 無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng) 其通解 為： tpCtpCxnn s i nc o s 21 ??01 xC ?tppvtpxx nnn s i nc o s00 ??npvC 02 ?其中 C1和 C2為積分常數(shù)，由物塊運(yùn)動(dòng)的起始條件確定。 振動(dòng)問題的共同特點(diǎn) Mechanical and Structural Vibration 機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動(dòng) 按系統(tǒng)的自由度劃分： 振動(dòng)問題的分類 單自由度 振動(dòng) －一個(gè)自由度系統(tǒng)的振動(dòng)。 運(yùn)動(dòng)微分方程中，既有等效質(zhì)量，又有等效剛度。如不計(jì)梁的質(zhì)量，則相當(dāng)于一根無重彈簧，系統(tǒng)簡(jiǎn)化成彈簧 質(zhì)量系統(tǒng) Mechanical and Structural Vibration 第 1章單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 自由振動(dòng)方程 振幅、初相位和頻率 等效剛度系數(shù) 扭轉(zhuǎn)振動(dòng) Mechanical and Structura