單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)-資料下載頁(yè)
2025-06-14 23:40本頁(yè)面
【正文】 初相位角 振 幅 阻尼振動(dòng)振幅；－－ ntA e 這種情形下，自由振動(dòng)不是等幅簡(jiǎn)諧振動(dòng)，是按負(fù)指數(shù)衰減的衰減運(yùn)動(dòng)。衰減運(yùn)動(dòng)的頻率為 p d， 衰減速度取決于 zp n， 二者分別為本征值的虛部和實(shí)部。 Mechanical and Structural Vibration 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 衰減振動(dòng) :物塊在平衡位置附近作具有振動(dòng)性質(zhì)的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，但它的振幅不是常數(shù)，隨時(shí)間的推延而衰減。 有阻尼的自由振動(dòng)視為準(zhǔn)周期振動(dòng)。 )s i n (e ??? ? tpAx dntMechanical and Structural Vibration 222 π 2 π 111 ( )ddnnTTpp npz? ? ???T=2?/pn為無(wú)阻尼自由振動(dòng)的周期。 欠阻尼自由振動(dòng)的周期 Td ： 物體由最大偏離位置起經(jīng)過(guò)一次振動(dòng)循環(huán)又到達(dá)另一最大偏離位置所經(jīng)過(guò)的時(shí)間。 由于阻尼的存在，使衰減振動(dòng)的周期加大。通常 z 很小，阻尼對(duì)周期的影響不大。例如，當(dāng) z=， Td=，周期 Td 僅增加了 %。當(dāng)材料的阻尼比 z1時(shí)，可近似認(rèn)為有阻尼自由振動(dòng)的周期與無(wú)阻尼自由振動(dòng)的周期相等。 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 阻尼對(duì)周期的影響 Mechanical and Structural Vibration 設(shè)衰減振動(dòng)經(jīng)過(guò)一周期 Td， 在同方向的相鄰兩個(gè)振幅分別為 Ai和 Ai+1， 即 ])(s i n [e)s i n (e)(1 ???????????didTtniidntiTtpAAtpAAdii兩振幅之比為 dnTiiAA e1????稱(chēng)為振幅減縮率或減幅系數(shù)。如仍以 z =，算得 ,物體每振動(dòng)一次，振幅就減少 27%。由此可見(jiàn) ，在欠阻尼情況下，周期的變化雖然微小，但振幅的衰減卻非常顯著 ，它是按幾何級(jí)數(shù)衰減的。 ?? dnT? 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 阻尼對(duì)振幅的影響 Mechanical and Structural Vibration 振幅減縮率的自然對(duì)數(shù)稱(chēng)為 對(duì)數(shù)減縮率 或?qū)?shù)減幅系數(shù) ， 以 ? 表示 ?? ln?z? π2?例 在欠阻尼（ z 1）的系統(tǒng)中，在振幅衰減曲線的包絡(luò)線上，已測(cè)得相隔 N個(gè)周期的兩點(diǎn) P、 R的幅值之比 xP/xR=?，如圖所示，試確定此振動(dòng)系統(tǒng)的阻尼比 z。 dnTpTtptpTpee e dndnnzzzz??? ???lnln )(1121π2zz???dnT?21π2 z?? nd pT 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 阻尼對(duì)振幅的影響 Mechanical and Structural Vibration 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 解 ：振動(dòng)衰減曲線的包絡(luò)線方程為 ntAx ?? e設(shè) P、 R兩點(diǎn)在包絡(luò)線上的幅值為 xP、 xR ， 則有 ??? dn N TRPxx e當(dāng) z 21時(shí) 此式對(duì)估算小阻尼系統(tǒng)的 z值是很方便的 。 例如 ， 經(jīng)過(guò) 10個(gè)周期測(cè)得 P、 R兩點(diǎn)的幅值比 ?=2， 將 N= ?=2代入上式 ， 得到該系統(tǒng)的阻尼比 2ln ??zNN π2lnlnπ2 ?z?z ????zz ln1π22??NMechanical and Structural Vibration 21π2 z?? nd pT 練 習(xí) Mechanical and Structural Vibration 質(zhì)量為 500 kg的機(jī)器安裝在一根彈簧上，使彈簧產(chǎn)生 mm的靜變形。為了使系統(tǒng)達(dá)到臨界阻尼狀態(tài)，求加在系統(tǒng)上并與彈簧并聯(lián)的粘性阻尼器的阻尼系數(shù)是多少？ 2STN9 . 8 1r a ds 8 0 . 90 . 0 0 1 5 m sngp ? ? ??22 nnc c m pmpzz? ? ?msN108 .0 9sr a d8 0 . 9)500)(1(2 4 ?????????? kgc解：靜變形與固有頻率的關(guān)系為 由附加的粘性阻尼器的阻尼系數(shù) c導(dǎo)出的阻尼比為 當(dāng)阻尼比為 1時(shí)，系統(tǒng)處于臨界衰減，則此時(shí)的阻尼系數(shù)為臨界阻尼系數(shù)，即 練 習(xí) Mechanical and Structural Vibration 質(zhì)量為 m = 2450kg的汽車(chē)，壓在 4個(gè)車(chē)輪彈簧上，可使每個(gè)彈簧壓縮 ?st = 150mm，當(dāng)每個(gè)彈簧都并聯(lián)上一個(gè)粘性阻尼器后，振幅衰減為 A1/A3 = 10；求 1）振幅減縮率 ? 和對(duì)數(shù)減縮率? ； 2）衰減系數(shù) n = c/2m和衰減振動(dòng)的周期 Td； 3）臨界阻尼系數(shù) cc。 044 ??? kxxcxm ???解：畫(huà)車(chē)身鉛垂振動(dòng)的受力圖， 坐標(biāo) x的原點(diǎn)為車(chē)身的靜平衡位置，車(chē)身的運(yùn)動(dòng)微分方程為 練 習(xí) Mechanical and Structural Vibration 044 ??? kxxcxm ???dnTAA 231 e?,2121 ?????? ???AAAA由已知條件和定義，得： 取對(duì)數(shù)得， dnTAA 2ln31 ? ?＝ 2 1π2,π211,222st????????????z??z??ndn Tgs / ,s/14 5 ????? ncdmcTn ??例 題 簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) Mechanical and Structural Vibration 一個(gè)有阻尼的彈簧 質(zhì)量系統(tǒng)，質(zhì)量為 10 kg，彈簧靜伸長(zhǎng)是 1cm，自由振動(dòng) 20個(gè)循環(huán)后，振幅從 cm減至 ，求阻尼系數(shù) c。 ntX Ae?? 200 .6 40 .1 6 dnTe? ln 420dT n?振動(dòng) 20個(gè)循環(huán)后，振幅比為： 21dTTz? ?2222ln 4 4()20 nn P n???代入 得： 10nstgPgd??? 2ln4()20n 224100gn?? ?又 ＝ c = N s /m 解：振動(dòng)衰減曲線得包絡(luò)方程為： 例 題 簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) Mechanical and Structural Vibration O mg ? XO YO FK FC 一長(zhǎng)度為 l、質(zhì)量為 m的均質(zhì)剛性桿鉸接于 O點(diǎn)并以彈簧和粘性阻尼器支承，如圖所示。寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)微分方程，并求臨界阻尼系數(shù)和阻尼固有頻率的表達(dá)式。 0220 ??? aklcI ??? ???20 13I ml?當(dāng) n＝ pn時(shí)， c＝ cC 323232 mklampnmc nC ????解：圖為系統(tǒng)的靜平衡位置，畫(huà)受力圖。由動(dòng)量矩定理，列系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為： 223 0c k am m l? ? ??? ? ? ? 22233,2n k a cpnml m??
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