【正文】 振型的基準(zhǔn)化和標(biāo)準(zhǔn)化 由于固有振型 {X(i)} 只是振幅的比例關(guān)系，各階振型均 有一個未確定的常數(shù)比例因子。通常假設(shè)振型的某個元素 為 1，則其它元素就可以表示為此元素的倍數(shù)，這種方法或 過程就是振型的基準(zhǔn)化。 一般假設(shè)振型的第一個元素為 1。 92 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 分別代入 ([K]?2[M]){X}=0得： ( 1 )1{ } 1 .8 0 22 .2 4 7X????? ??????( 2 )1{ } 45X????? ???????( 3 )1{ } 47X????????????93 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 2. 振型的標(biāo)準(zhǔn)化 另外一種確定振型各元素數(shù)值的方法是以某個限制條件來確定振型中的常數(shù)因子 。 通常規(guī)定 {XN(i)}滿足條件 ( ) ( ){ } [ ] { } 1i T iNNX M X ? 滿足這個限制條件的振型 {XN(i)}稱為標(biāo)準(zhǔn)化（ 或正規(guī)化 、 歸一化 ） 的振型 。 94 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 對方程 ([K]－ ?2[M]){XN}={0}兩邊左乘 {XN(i)}T 可得到 ( ) ( ) 2{ } [ ] { }i T iN N iX K X ?? 注意：這里的 {XN(i)}均為正規(guī)化后的振型 ， 而不是求解的原始主振型 {X(i)} 。 95 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 3. 標(biāo)準(zhǔn)化振型與主振型的關(guān)系 將主振型 {X(i)}進行如下運算： ( ) ( ){ } [ ] { }i T i iX M X M? Mi稱為廣義質(zhì)量 （ 主質(zhì)量 、 模態(tài)質(zhì)量 ） 。設(shè) {X(i)}＝ ci {XN(i)}， 代入上式有： ( ) ( ) ( ) ( ) 2{ } [ ] { } { } [ ] { }i T i i T ii N i N i iX M X c X M c X c M? ? ?所以 ( ) ( ) ( )()( ) ( ){ } { } { }{}{ } [ ] { }i i iiN i T ii iX X XXc M X M X???96 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 自由振動的運動規(guī)律 求出特征方程的 n個特征值和對應(yīng)的特征向量后 ，即得到振動方程的 n個線性無關(guān)的特解 ， 系統(tǒng)按任意一個固有頻率作自由振動 ， 稱之為主振動 ， 則第i 階主振動為 ( ) ( ){ } { ) sin( )ii iix X t???? (i＝ 1,2,… n) 因而方程的通解應(yīng)是上述特解的線性組合 ()1{ } { } s in ( )nii i iix c X t??????97 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 或?qū)憺? 其中常數(shù) ci、 ?i、 Ai、 Bi (i＝ 1,2,… ,n)由初始條件確定 。 例如給出 t＝ 0時的位移向量 {x0}和速度向量 {v0} ， 則得到含有 2n個方程的方程組 ()1{ } { } ( s in c o s )nii i i iix X A t B t??????()01()01{ } { } sin{ } { } c o sniiiinii i iix c Xv c X??????? ?????????()01()01{ } { }{ } { }niiiniiiix B Xv A X????? ?????????或 98 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 【 311】 圖示系統(tǒng)中 , m1＝ m2＝m3＝ m, k1＝ k2＝ k3＝ k, 設(shè)初始位移為 1, 初始速度為 0, 求初始激勵的自由振動響應(yīng) 。 解： 1 0 0[ ] 0 1 00 0 1Mm???????????2 1 0[ ] 1 2 10 1 1Kk?????? ? ??????99 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 則響應(yīng)為： 3()1{ } { } ( s in c o s )i i i i iix X A t B t??????將振型代入并展開： 1 1 1 1 1sin c osx A t B t????2 2 2 2si n c osA t B t????3 3 3 3si n c osA t B t????100 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 前面的例題已經(jīng)求得： 2 2 21 2 30 . 1 9 8 , 1 . 5 5 5 , 3 . 2 4 7k k km m m? ? ?? ? ?( 1 )1{ } 1 .8 0 22 .2 4 7X????? ??????( 2 )1{ } 45X????? ???????( 3 )1{ } 47X????????????101 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 2 1 1 1 02( sin c os )x A t B t????2 2 2 5 ( si n c os )A t B t????3 3 3 7 ( si n c os )A t B t????3 1 1 1 47 ( sin c os )x A t B t????2 2 2 2( si n c os )A t B t????3 3 3 5 ( si n c os )A t B t????102 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 解出各系數(shù)即可 … 1 2 3 1B B B? ? ?1 2 31 .8 0 2 0 .4 4 5 1 .2 4 7 1B B B? ? ?1 2 47 02 55 1B B B? ? ?1 1 2 2 3 3 0A A A? ? ?? ? ?1 1 2 2 3 31 .8 0 2 0 .4 4 5 1 .2 4 7 0A A A? ? ?? ? ?1 1 2 2 3 47 02 55 0A A A? ? ?? ? ?代入初始條件得： 103 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 由廣義特征值問題 ([K]－ ?2[M]){X}={0}知 主振型的正交性 ( ) 2 ( )[ ] { } [ ] { }iiiK X M X??( ) 2 ( )[ ] { } [ ] { }jjjK X M X??兩邊分別左乘 {X(j)}T 和 {X(i)}T得到 104 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 與第一式相減得： ( ) ( ) 2 ( ) ( ){ } [ ] { } { } [ ] { }j T i j T iiX K X X M X??由于 [K]和 [M]都是對稱陣 ， 上面第二式可寫為 ( ) ( ) 2 ( ) ( ){ } [ ] { } { } [ ] { }i T j i T jjX K X X M X??2 2 ( ) ( )0 ( ) { } [ ] { }j T iij X M X????( ) ( ) 2 ( ) ( ){ } [ ] { } { } [ ] { }j T i j T ijX K X X M X??105 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 顯然也有： ( ) ( ){ } [ ] { } 0j T iX K X ?（ i≠j） 結(jié)論：當(dāng)剛度矩陣 [K]和質(zhì)量矩陣 [M]都是對稱陣時 ， n個固有頻率對應(yīng)的固有振型之間關(guān)于 [K]和 [M]都是正交的 。 所以： ( ) ( ){ } [ ] { } 0j T iX M X ?（ i≠j） 106 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 這里的 Mi和 Ki是兩個實常數(shù) ， 分別稱為系統(tǒng)的主質(zhì)量和主剛度 （ 或稱模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度 ） 。 由此可得到： 2 iiiKM? ?當(dāng) i＝ j 時： ( ) ( ){ } [ ] { }i T i iX M X M?( ) ( ){ } [ ] { }i T i iX K X K?107 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 變換矩陣即振型矩陣 ， 就是各階振型組成的方陣 變換矩陣 ( 1 ) ( 2 ) ( )[ ] [ { } { } { } ]nQ X X X? 主坐標(biāo) 108 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 廣義質(zhì)量 （ 主質(zhì)量 、 模態(tài)質(zhì)量 ） 矩陣 [Mp]和廣義剛度 （ 主剛度 、 模態(tài)剛度 ） 矩陣 [Kp]：主對角線元素為相應(yīng)的主質(zhì)量和主剛度 ， 其它元素為零 。 即 [ ] [ ] [ ] [ ]00TpiM Q M Q M?????? ??????109 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 [ ] [ ] [ ] [ ]00TpiK Q K Q K?????? ?????? 由主質(zhì)量矩陣 [Mp]和主剛度矩陣 [Kp]可得到如下關(guān)系： 1 1 1[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]TTppQ M Q M K Q K? ? ???110 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 對振動方程用振型矩陣進行變換 用主坐標(biāo)表示的運動方程 { } [ ] { }x Q Z?代入方程后左乘 [Q]T得 [ ] { } [ ] { } { 0 }ppM Z K Z??或 0i i i iM Z K Z??2 0i i iZZ???（ i＝ 1， 2， … n） 這樣原方程就變成了 n個獨立的 (解耦的 )固有頻率為?i的簡諧振動 ， 這組廣義坐標(biāo) {Z}稱為主坐標(biāo) 。 111 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 1. 標(biāo)準(zhǔn)振型矩陣 即由標(biāo)準(zhǔn)振型構(gòu)成的方陣： ( ) ( )1{ } { }iiNiXXM?標(biāo)準(zhǔn)振型 （ 正則振型 ） 為 ( 1 ) ( 2 ) ( )[ ] [ { }{ } { }]nN N N NQ X X X?標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo) 112 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 則有如下關(guān)系： [ ] [ ] [ ] [ ]TNNQ M Q E?1[ ] [ ] [ ]TNNQ Q M? ?2[ ] [ ] [ ]00TN N iQ K Q ?????? ??????同理有 由于 ( ) ( )( ) ( ) { } { }{ } [ ] { } [ ] 1i T ii T iNNiiXXX M X MMM??還有如下關(guān)系： 113 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 2. 標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo) （ 正則坐標(biāo) ） 下的方程 對振動方程用正則振型矩陣進行坐標(biāo)變換 { } [ ]{ }NNx Q Z?代入方程得到 2 0N i i N iZZ???（ i＝ 1， 2， … n） 這組廣義坐標(biāo) {ZN}稱為標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo) (正則坐標(biāo) )。 114 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 設(shè)振動方程的初始條件為 {x0}和 多自由度系統(tǒng)對初始激勵的響應(yīng) 對其進行正則坐標(biāo)變換 ， 轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)（ 正則坐標(biāo) ） 下的初始條件 : }{ 0x?10 0 0{ } [ ] { } [ ] [ ] { }TN N NZ Q x Q M x???10 0 0{ } [ ] { } [ ] [ ] { }TN N NZ Q x Q M x???115 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 利用單自由度的響應(yīng)公式可得到初始激勵下的正則坐標(biāo)響應(yīng) : 00 c o s s inNiN i N i i iiZZ Z t t?????（ i＝ 1， 2， … n） 再變換到廣義坐標(biāo) {x}下的響應(yīng) ()1{ } [ ] { } { }niN N N N iix Q Z X Z??? ?上述過程也可以在主坐標(biāo)下進行 。