【正文】 ]{P}得出 （ 2） 主坐標(biāo)下的響應(yīng) （ 4） 確定常系數(shù) 。 將上式代入方程得 [ ( ) ] { } { }Z X F? ?其中 1 1 1 22 1 2 2( ) ( )[ ( ) ]( ) ( )zzZzz????????????2()ij ij ij ijz m i c k? ? ?? ? ? ?(i, j=1, 2) ? ? 2[ ( ) ] [ ]Z K M????2()ij ij ijz k m????若為無(wú)阻尼系統(tǒng) ， 則 66 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 振幅為 2 2 1 1 2 21 21 1 2 2 1 2( ) ( )( ) ( ) ( )z F z FXz z z??? ? ????1 2 1 1 1 22 21 1 2 2 1 2( ) ( )( ) ( ) ( )z F z FXz z z??? ? ????? 若干擾力為正弦函數(shù)或余弦函數(shù) ， 則前面分析中相關(guān)的 ei? t 變?yōu)?sin? t 或 cos? t 即可 。因此實(shí)際結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)只需要考慮最低幾階模態(tài)的影響 。 解： 0[]0mMm???????2[]2kkKkk???? ?????設(shè)解為 { } { } co sx X t??代入振動(dòng)方程得 2[ ] { }( c os ) [ ] { } c os { }M X t K X t F? ? ?? ? ?70 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 即 11 02221 0 2 10 1 1 2 0XX Fmk??? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ?解得 200122 4 2 2 2 4 2 2( 2 ) ,4 3 4 3k m F k FXXm m k k m m k k?? ? ? ????? ? ? ?因此系統(tǒng)的響應(yīng)為 2011 2 4 2 2022 2 4 2 2( 2 ) c os( ) ( ) c os43c os( ) ( ) c os43k m F tx t X tm m k kk F tx t X tm m k k????????????????????71 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 【 39】 圖示系統(tǒng) ， xs＝ a sin?t， 當(dāng) ?為基頻的 ， 車(chē)體 W2的振幅為 a的多少倍 。 11 11 1 2 22 2 2220s in0 0xx kam k k ktm k k???? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ?解 : 振動(dòng)方程為 1 1 1 1 2 1 22 2 2 1 2( ) ( )()sm x k x x k x xm x k x x? ? ? ? ???即 72 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 代入數(shù)據(jù) ， 求得固有頻率為 ?1＝ ， ?2＝ 機(jī)車(chē)振動(dòng)頻率為 ?＝ ?1＝ ＝ 利用前面的方法求得振幅為 22 2 11 2 2 21 2 1 2 2 2212 2 2 21 2 1 2 2 2() 57( ) ( ) 04( ) ( )k m k aXak k m k m kk k aXak k m k m k????????? ?? ? ? ??????? ? ??＋＋73 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 當(dāng)機(jī)器轉(zhuǎn)速在共振區(qū)域附近時(shí)會(huì)引起劇烈的振動(dòng) ，由單自由度系統(tǒng)振動(dòng)理論知道 ， 可以通過(guò)調(diào)整質(zhì)量或彈簧剛度或增加阻尼來(lái)使振動(dòng)情況得到緩解 。 動(dòng)力吸振器 74 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) m1k1為原來(lái)的基本振動(dòng)系統(tǒng) ， m2k2為附加的吸振系統(tǒng) ， 這兩個(gè)系統(tǒng)組成了兩自由度振動(dòng)系統(tǒng) 。 76 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 22akm? ?—— 吸振系統(tǒng)的固有頻率 。 21/mm? ?—— 吸振質(zhì)量與基本質(zhì)量之比 . 一般動(dòng)力吸振器設(shè)計(jì)成 ?n＝ ?a， 引入頻率比 r，則振幅可寫(xiě)為 21421 ,( 2 ) 1stX rx r r???? ? ?2421( 2 ) 1stXx r r?? ? ? ?77 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 由此可看出： （ 1） r＝ 1即激振頻率 ?等于吸振系統(tǒng)固有頻率?a時(shí) ， X1＝ 0， 即達(dá)到最佳吸振效果； （ 2） 吸振器設(shè)計(jì)時(shí)一般只要求 ?a＝ ?n， 因此吸振系統(tǒng)的參數(shù)有廣泛的選擇余地 。 由 X2/xst的式子可知 ， 質(zhì)量比 ?越大 ， 在 r＝ 1時(shí) X2越小 ， 因此我們?nèi)?? 值不能太小 。 求 （ 1） 減振器剛度 k2多大才能使機(jī)器振幅為 0；（ 2） 此時(shí)減振器的振幅為多大； （ 3） 若使減振器的振幅不超過(guò) 2 mm， 應(yīng)如何改變減振器的參數(shù) 。 一般來(lái)說(shuō) ， 一個(gè) n自由度的振動(dòng)系統(tǒng) ， 其廣義位移可以用 n個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)來(lái)描述 ， 其運(yùn)動(dòng)規(guī)律通?？捎?n個(gè)二階常微分方程來(lái)確定 。 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 82 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 建立振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的方法和兩自由度系統(tǒng)一樣 ， 包括一般的動(dòng)力學(xué)方法 、 影響系數(shù)法 （ 剛度影響系數(shù)和柔度影響系數(shù) ） 、 拉格朗日方程和能量方法等 。 84 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 1223001[ ] 0 0200mM m rm?????????????1 2 222 2 3 3330[ ] ( )0k k k rK k r k k r k rk r k??????? ? ? ??? ???85 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 無(wú)阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為 主 振型 方程式 特征值和特征向量 [ ] { } [ ] { } { 0 }M x K x?? 利用兩自由度系統(tǒng)的分析結(jié)果 ， 假設(shè)方程解的形式為 ? ?{ } si n( )x X t????86 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 式中 {X}為振幅向量 ， ?為固有頻率 ， ? 為初相位 。 要使上式有解 ， 必須使其系數(shù)行列式為零： 2( [ ] [ ] ) { } { 0 }K M X???2[ ] [ ] 0KM???上式稱(chēng)為頻率方程或特征方程 。 ? ?{ } si n( )x X t????87 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 將每個(gè)特征根 ?i（ 固有頻率 ） 代入廣義特征值問(wèn)題 ([K]－ ?2[M]){X}={0}, 可得到相應(yīng)的非零向量 {X(i)}, 稱(chēng)為特征矢量 ,或稱(chēng)特征向量 、 固有振型 、 固有向量 、模態(tài)向量等 。 固有頻率和特征向量只決定于系統(tǒng)本身的物理特性 ， 而與外部激勵(lì)和初始條件無(wú)關(guān) ， 它們都是系統(tǒng)的固有屬性 。 求固有頻率和振型 。 90 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 利用 Excel計(jì)算固有頻率步驟： (1)定義變量 。 如在 A2格輸入 =w^35*w^2+6*w1 (3)“ 工具 ” “ 單變量求解 ” … (只能求第一固有頻率 ) (4 )高階特征值的求解要用 “ 工具 ” “ 規(guī)劃求解 ” … 固有頻率為： 2 2 21 2 98 , 55 , 47? ? ?? ? ?91 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 振型的基準(zhǔn)化和標(biāo)準(zhǔn)化 由于固有振型 {X(i)} 只是振幅的比例關(guān)系，各階振型均 有一個(gè)未確定的常數(shù)比例因子。 一般假設(shè)振型的第一個(gè)元素為 1。 通常規(guī)定 {XN(i)}滿足條件 ( ) ( ){ } [ ] { } 1i T iNNX M X ? 滿足這個(gè)限制條件的振型 {XN(i)}稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)化（ 或正規(guī)化 、 歸一化 ） 的振型 。 95 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 3. 標(biāo)準(zhǔn)化振型與主振型的關(guān)系 將主振型 {X(i)}進(jìn)行如下運(yùn)算： ( ) ( ){ } [ ] { }i T i iX M X M? Mi稱(chēng)為廣義質(zhì)量 （ 主質(zhì)量 、 模態(tài)質(zhì)量 ） 。 例如給出 t＝ 0時(shí)的位移向量 {x0}和速度向量 {v0} ， 則得到含有 2n個(gè)方程的方程組 ()1{ } { } ( s in c o s )nii i i iix X A t B t??????()01()01{ } { } sin{ } { } c o sniiiinii i iix c Xv c X??????? ?????????()01()01{ } { }{ } { }niiiniiiix B Xv A X????? ?????????或 98 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 【 311】 圖示系統(tǒng)中 , m1＝ m2＝m3＝ m, k1＝ k2＝ k3＝ k, 設(shè)初始位移為 1, 初始速度為 0, 求初始激勵(lì)的自由振動(dòng)響應(yīng) 。 所以： ( ) ( ){ } [ ] { } 0j T iX M X ?（ i≠j） 106 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 這里的 Mi和 Ki是兩個(gè)實(shí)常數(shù) ， 分別稱(chēng)為系統(tǒng)的主質(zhì)量和主剛度 （ 或稱(chēng)模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度 ） 。 即 [ ] [ ] [ ] [ ]00TpiM Q M Q M?????? ??????109 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) [ ] [ ] [ ] [ ]00TpiK Q K Q K?????? ?????? 由主質(zhì)量矩陣 [Mp]和主剛度矩陣 [Kp]可得到如下關(guān)系： 1 1 1[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]TTppQ M Q M K Q K? ? ???110 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 對(duì)振動(dòng)方程用振型矩陣進(jìn)行變換 用主坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)方程 { } [ ] { }x Q Z?代入方程后左乘 [Q]T得 [ ] { } [ ] { } { 0 }ppM Z K Z??或 0i i i iM Z K Z??2 0i i iZZ???（ i＝ 1， 2， … n） 這樣原方程就變成了 n個(gè)獨(dú)立的 (解耦的 )固有頻率為?i的簡(jiǎn)諧振動(dòng) ， 這組廣義坐標(biāo) {Z}稱(chēng)為主坐標(biāo) 。 114 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 設(shè)振動(dòng)方程的初始條件為 {x0}和 多自由度系統(tǒng)對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng) 對(duì)其進(jìn)行正則坐標(biāo)變換 ， 轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)（ 正則坐標(biāo) ） 下的初始條件 : }{ 0x?10 0 0{ } [ ] { } [ ] [ ] { }TN N NZ Q x Q M x???10 0 0{ } [ ] { } [ ] [ ] { }TN N NZ Q x Q M x???115 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 利用單自由度的響應(yīng)公式可得到初始激勵(lì)下的正則坐標(biāo)響應(yīng) : 00 c o s s inNiN i N i i iiZZ Z t t?????（ i＝ 1， 2， … n） 再變換到廣義坐標(biāo) {x}下的響應(yīng) ()1{ } [ ] { } { }niN N N N iix Q Z X Z??? ?上述過(guò)程也可以在主坐標(biāo)下進(jìn)行