【正文】 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動 [ ] { } [ ] { } { 0 }M x K x??假設(shè)方程解的形式為 1122{ } s in ( )xXxtxX??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?34 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 這里： X X2為振動幅值 ， ?為固有頻率 ，? 為初相位 。 由此可求出 ?2的兩個正實(shí)根 。 2()1 1 12 1 2( ) 21 1 2 2 2 2iii iikmXkuX k k m???? ? ? ? ??36 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 和單自由度一樣 ， 由于固有頻率和振幅比 ui只決定于系統(tǒng)本身的物理特性 ， 而與外部激勵和初始條件無關(guān) ， 這表明它們都是系統(tǒng)的固有屬性 。 顯然兩個主振動的疊加也是方程的解 ， 即 系統(tǒng)對初始激勵的響應(yīng) 112()( ) ( )()1{ } s i n ( )iiiiiiixx X tux???? ????? ? ?? ? ? ???????1 121 1 1 1 2 212211{ } s in ( ) s in ( )xx X t X tuux? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ???（ ） （ ）＋ 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動 38 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 由解的形式可看出 ， 系統(tǒng)兩質(zhì)量按相同的頻率和相位角作簡諧運(yùn)動 ， 這種運(yùn)動稱為固有振動或主振動 。 或?qū)憺橄旅娴男问? 1 ( 1 ) ( 1 )1 1 2 111211{ } c o s s inxx C t C tuux???? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ???( 2 ) ( 2 )1 2 2 22211c o s s inC t C tuu??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?40 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 將初始條件代入可得 設(shè)初始條件為 t＝ 0時 00, ( 1 , 2)i i i ix x x x i? ? ?2( 1 ) 2 2 01 021 2 01 02 22 1 12( 2 ) 2 02 1 011 02 1 01 22 1 21 2 01 02 2 1 01 02122 01 02 1 01 02()1()()1()( ) ( )a r c ta n , a r c ta nu x xX u x xuux u xX x u xuuu x x u x xu x x u x x????????? ? ? ????? ?? ? ? ??????????? ??41 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 綜上所述 ， 系統(tǒng)對初始激勵的響應(yīng)求解步驟為： （ 1） 建立運(yùn)動微分方程 ， 求出質(zhì)量矩陣[M]和剛度矩陣 [K]。 解：取靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)和零勢能位置 22 2 212112 2 2LT m m L??????????2210[] 40mLMmL???????則 221 2 1 21 ( ) ( 1 c o s ) ( 1 c o s )2 4 2LLV k m g m g L? ? ? ???? ? ? ? ? ?????43 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 222 2 211 2 1 2 211( 2 ) ( )2 1 6 2 2kLV m g L ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?將余弦函數(shù)表示為 22c o s 1 2 s in 122iii??? ? ? ? ?則 所以 222211 6 2 1 6[]1 6 1 6k L k Lm g LKk L k Lm g L?????????????44 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 【 T526】 求系統(tǒng)的固有頻率 。 把 [M]為對角陣 ， [K]不是對角陣的情形稱為靜力耦合或彈性耦合 （ 剛性耦合 ） ， 把 [K]為對角陣 ，[M]不是對角陣的情形稱為動力耦合或慣性耦合 。 53 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 若取質(zhì)心位移 x和轉(zhuǎn)角 ?為廣義坐標(biāo) ，則自由振動方程是靜力耦合的 1 2 1 2221 2 1 20 () 00 () 0Cxm k k k a k b xJ k a k b k a k b ??? ? ????? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ? ????? ??54 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 若坐標(biāo) x不取在質(zhì)心 ,而是選在滿足 k1a1＝ k2b2的 O點(diǎn)位置 ， 利用平面運(yùn)動微分方程可得到 12221 1 2 10 00 0Oxm m e kk xm e J k a k b ??????? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ????? ?? 其中 e為 O點(diǎn)距質(zhì)心的距離 ， 這時運(yùn)動方程是動力耦合的 。 主坐標(biāo)下的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣除主對角線元素外 ， 其余元素均為零 ， 各個運(yùn)動方程的坐標(biāo)之間不存在耦合 。 60 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 【 例 37】 標(biāo)準(zhǔn) mkc系統(tǒng)中 ，設(shè) m1＝ m, m2＝ 2m, k1＝ k2＝ k, k3＝ 2k, c=0, 求系統(tǒng)的固有頻率和固有振型 。 將上式代入方程得 [ ( ) ] { } { }Z X F? ?其中 1 1 1 22 1 2 2( ) ( )[ ( ) ]( ) ( )zzZzz????????????2()ij ij ij ijz m i c k? ? ?? ? ? ?(i, j=1, 2) ? ? 2[ ( ) ] [ ]Z K M????2()ij ij ijz k m????若為無阻尼系統(tǒng) ， 則 66 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 振幅為 2 2 1 1 2 21 21 1 2 2 1 2( ) ( )( ) ( ) ( )z F z FXz z z??? ? ????1 2 1 1 1 22 21 1 2 2 1 2( ) ( )( ) ( ) ( )z F z FXz z z??? ? ????? 若干擾力為正弦函數(shù)或余弦函數(shù) ， 則前面分析中相關(guān)的 ei? t 變?yōu)?sin? t 或 cos? t 即可 。 解： 0[]0mMm???????2[]2kkKkk???? ?????設(shè)解為 { } { } co sx X t??代入振動方程得 2[ ] { }( c os ) [ ] { } c os { }M X t K X t F? ? ?? ? ?70 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 即 11 02221 0 2 10 1 1 2 0XX Fmk??? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ?解得 200122 4 2 2 2 4 2 2( 2 ) ,4 3 4 3k m F k FXXm m k k m m k k?? ? ? ????? ? ? ?因此系統(tǒng)的響應(yīng)為 2011 2 4 2 2022 2 4 2 2( 2 ) c os( ) ( ) c os43c os( ) ( ) c os43k m F tx t X tm m k kk F tx t X tm m k k????????????????????71 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 【 39】 圖示系統(tǒng) ， xs＝ a sin?t， 當(dāng) ?為基頻的 ， 車體 W2的振幅為 a的多少倍 。 動力吸振器 74 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 m1k1為原來的基本振動系統(tǒng) ， m2k2為附加的吸振系統(tǒng) ， 這兩個系統(tǒng)組成了兩自由度振動系統(tǒng) 。 21/mm? ?—— 吸振質(zhì)量與基本質(zhì)量之比 . 一般動力吸振器設(shè)計成 ?n＝ ?a， 引入頻率比 r，則振幅可寫為 21421 ,( 2 ) 1stX rx r r???? ? ?2421( 2 ) 1stXx r r?? ? ? ?77 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 由此可看出： （ 1） r＝ 1即激振頻率 ?等于吸振系統(tǒng)固有頻率?a時 ， X1＝ 0， 即達(dá)到最佳吸振效果； （ 2） 吸振器設(shè)計時一般只要求 ?a＝ ?n， 因此吸振系統(tǒng)的參數(shù)有廣泛的選擇余地 。 求 （ 1） 減振器剛度 k2多大才能使機(jī)器振幅為 0；（ 2） 此時減振器的振幅為多大； （ 3） 若使減振器的振幅不超過 2 mm， 應(yīng)如何改變減振器的參數(shù) 。 多自由度系統(tǒng)的振動 82 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 建立振動系統(tǒng)運(yùn)動微分方程的方法和兩自由度系統(tǒng)一樣 ， 包括一般的動力學(xué)方法 、 影響系數(shù)法 （ 剛度影響系數(shù)和柔度影響系數(shù) ） 、 拉格朗日方程和能量方法等 。 要使上式有解 ， 必須使其系數(shù)行列式為零： 2( [ ] [ ] ) { } { 0 }K M X???2[ ] [ ] 0KM???上式稱為頻率方程或特征方程 。 固有頻率和特征向量只決定于系統(tǒng)本身的物理特性 ， 而與外部激勵和初始條件無關(guān) ， 它們都是系統(tǒng)的固有屬性 。 90 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 利用 Excel計算固有頻率步驟： (1)定義變量 。 一般假設(shè)振型的第一個元素為 1。 95 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 3. 標(biāo)準(zhǔn)化振型與主振型的關(guān)系 將主振型 {X(i)}進(jìn)行如下運(yùn)算： ( ) ( ){ } [ ] { }i T i iX M X M? Mi稱為廣義質(zhì)量 （ 主質(zhì)量 、 模態(tài)質(zhì)量 ） 。 所以： ( ) ( ){ } [ ] { } 0j T iX M X ?（ i≠j） 106 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 這里的 Mi和 Ki是兩個實(shí)常數(shù) ， 分別稱為系統(tǒng)的主質(zhì)量和主剛度 （ 或稱模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度 ） 。 114 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 設(shè)振動方程的初始條件為 {x0}和 多自由度系統(tǒng)對初始激勵的響應(yīng) 對其進(jìn)行正則坐標(biāo)變換 ， 轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)（ 正則坐標(biāo) ） 下的初始條件 : }{ 0x?10 0 0{ } [ ] { } [ ] [ ] { }TN N NZ Q x Q M x???10 0 0{ } [ ] { } [ ] [ ] { }TN N NZ Q x Q M x???115 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 利用單自由度的響應(yīng)公式可得到初始激勵下的正則坐標(biāo)響應(yīng) : 00 c o s s inNiN i N i i iiZZ Z t t?????（ i＝ 1， 2， … n） 再變換到廣義坐標(biāo) {x}下的響應(yīng) ()1{ } [ ] { } { }niN N N N iix Q Z X Z??? ?上述過程也可以在主坐標(biāo)下進(jìn)行