【正文】 220????????ptd tptfTbptd tptfTaTTpTTp??（ 273） , 單自由度系統(tǒng)的強迫振動 為了求解方便，將（ 273）式用復數(shù)形式表示 tippp ectf0)( ??????? （ 274） 這里 為復常數(shù)，由下式給定 pc?2,1,0)(1 220 ???? ??? pdtetfTcTTtipp?????1)R e ()( 0ptipp eAtf?由復數(shù)運算規(guī)律得 ,(274)式等效于下式 其中 ?3,2,1)(2 220 ?? ??? pdtetfTATTtipp?（ 275） 單自由度系統(tǒng)的強迫振動 （ 276） （ 277） 這里， 為對應于頻率為 的復頻響應，即 有阻尼單自由度系統(tǒng)對于（ 276）式所示激勵的響應，可以求得下式 ????1)R e ()( 0ptippp eAHtx?pH0?p （ 278） nnppipH????? 0202)(11??? （ 279） 類似地，解（ 278）可寫成 ? ???????? ????10Re)(ptpipppeAHtx ??（ 280） 單自由度系統(tǒng)的強迫振動 為 的模，而 200112ta n???????????nnppp?????? （ 281） 由解的表達式（ 278）和（ 280）可看出，對于周期激勵的響應 也是周期的，且與 有同樣的周期。另外，當某個 接近系統(tǒng)的自然頻率 時，系統(tǒng)的響應中此簡諧分量將占主導地位，特別是當 時，系統(tǒng)均發(fā)生共振，也就是說周期激勵同樣可以激起系統(tǒng)共振，只要某 與 重合。 )(tx )(tf0?pn?n?np ?? ?00?ppH pH 單自由度系統(tǒng)的強迫振動 非周期激勵的響應 在非周期激勵的情況下，系統(tǒng)的響應將不再是“穩(wěn)態(tài)”的，而是“非穩(wěn)態(tài)”的。求解系統(tǒng)在非周期激勵下瞬態(tài)響應的方法有多種，將激勵描述成一系列脈沖，通過求各個脈沖的響應，然后疊加來求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應是常見的方法之一，下面詳細敘述此方法。 單位脈沖函數(shù) 的數(shù)學定義為 ? ? 0?? at? 當 時 at ????? ?? 1)( dtat? （ 282） 單自由度系統(tǒng)的強迫振動 按單位脈沖函數(shù)的定義，在 t=a 時刻作用的一個任意幅值 的脈沖力可表示為 F?)(?)( atFtF ?? ? （ 283） 系統(tǒng)在零初始條件下 ， 對于 t=0時的單位脈沖力的響應 ， 稱為單位脈沖響應 ， 并用 h(t) 表示 。 系統(tǒng)對于 t =a 時刻單位脈沖力的響應則相應為 h(t –a)。 下面求解有阻尼單自由度系統(tǒng)對于脈沖力 的響應，此時系統(tǒng)的方程為 )(?)( tFtF ??)(?)()()( tFtkxtxctxm ???? ??? （ 284） 由于脈沖的作用時間 ε極短， 即 ε→ 0 ，對方程 （ 284） 兩邊在區(qū)間 ε積分，并設初始條件 0)0()0( ?? xx ?? ?0000 ? ?l i m l i m ( )m x c x k x d x F t d t F???? ??? ? ? ? ??? （ 285） 單自由度系統(tǒng)的強迫振動 其中 ? ?? ? ? ?? ?0l i m00l i ml i ml i m)0()0()(l i ml i ml i m000000000000??????????????????????????????????k x d txxccxdtxcxmxxmxmdtxm???????（ 286） 符號 表示在 區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)速度的變化。另一方面，由于脈沖作用時間極短，系統(tǒng)在瞬間不可能獲得位移增量，即 。由 （ 285 ）、（ 286） 可得 )0( ?x? ???t0)( ??xmFx ?)0( ???（ 287） 單自由度系統(tǒng)的強迫振動 (287)式可以理解為作用于 時的脈沖力，使系統(tǒng)產(chǎn)生一瞬間的速度增量，這樣就可以將這一脈沖作用等價為系統(tǒng)具有初速度 。因此，系統(tǒng)的響應為 0?t0 ?v F m?0s i n?)( temFtx dtdn ???????????00??tt （ 288） 212 )1( ??? ?? nd單位脈沖響應可以由 （ 288） 式得到，令 ，則有 1? ?F???????0s i n1)(temth dtdn ????00??tt （ 289） 單自由度系統(tǒng)的強迫振動 對一任意激勵函數(shù) ，可以看成由一系列變幅值的脈沖所組成。在任意時刻 ，對應一時間增量 ，相應的脈沖幅值為 ，脈沖力在數(shù)學上可描述為 ，此時系統(tǒng)的 響應 )(tF??t ???? ?)(F )()( ???? ?? tF? ? )()( ???? ????? thFtx （ 290） 系統(tǒng)總的響應為 ? ? ??? ??? ? thFtx )()( （ 291） 令 ，我們可得到 0???? ?? t dthFtx 0 )()()( ??? （ 292） 單自由度系統(tǒng)的強迫振動 （ 292）式稱為 卷積或杜哈美（ Dugamel）積分 ，表示系統(tǒng)的響應為一系列脈沖響應的疊加。將（ 289）式代入（ 292）得 ????? ??? dteFmtx dt tdn )(s i n)(1)(0)( ?? ? ??（ 293） 這就是有阻尼單自由度系統(tǒng)對于任意激勵 的響應 。 注意 ， （ 293） 未考慮系統(tǒng)的初始條件 。 根據(jù)卷積的性質(zhì) ， （ 292） 可寫為另一種形式 )(tF? ? ? ? ? ? ?????? dhtFdthFtx tt ?? ???? 00 )()( （ 294） 單自由度系統(tǒng)的強迫振動 ? 階躍響應 作為卷積的一個例子，下面討論有阻尼單自由度系統(tǒng)對單位階躍函數(shù)的響應， 單位階躍函數(shù) 定義為 ?????10)( atuatat?? （ 295） 很明顯 ， 單位階躍函數(shù)在 處不連續(xù) ， 在此點處 ，函數(shù)值由 0 跳到 1 。 如果不連續(xù)點在 處 ， 則單位階躍函數(shù)用 表示 。 at ?0?t)(tu 值得注意，單位階躍函數(shù)與單位脈沖函數(shù)有密切關系，在數(shù)學上可表示為 ? ?? ??? t datatu ?? )()( （ 296） 此處， 僅僅是積分變量。反過來有 ? 單自由度系統(tǒng)的強迫振動 dtatduat )()( ???? （ 297） 系統(tǒng)對于作用于 時的單位階躍力的響應稱為單位階躍響應 ， 并用 表示 。 將 和 代入卷積公式 ， 可得單位階躍響應 0?t)(tg )()( ?? uF ? )(th? ? ?????????? dtemdthutg dt tdtn )(s i n1)()()(00???? ?? ??（ 298） 經(jīng)積分可得 )(s i nc o s11)( tuttektg ddndtn??????????????????? ? ??????? （ 299） 此處 的作用是使 （ 299） 式在 時， 。 )(tu 0?t 0)( ?tg 系統(tǒng)響應的求法還有 Fourier積分法 ， Laplace變換法 ，這里不做介紹。 單自由度系統(tǒng)的強迫振動