【正文】 )(tu 0?t 0)( ?tg 系統(tǒng)響應(yīng)的求法還有 Fourier積分法 ， Laplace變換法 ，這里不做介紹。反過來有 ? 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) dtatduat )()( ???? （ 297） 系統(tǒng)對于作用于 時(shí)的單位階躍力的響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng) ， 并用 表示 。 如果不連續(xù)點(diǎn)在 處 ， 則單位階躍函數(shù)用 表示 。 注意 ， （ 293） 未考慮系統(tǒng)的初始條件 。在任意時(shí)刻 ，對應(yīng)一時(shí)間增量 ，相應(yīng)的脈沖幅值為 ，脈沖力在數(shù)學(xué)上可描述為 ，此時(shí)系統(tǒng)的 響應(yīng) )(tF??t ???? ?)(F )()( ???? ?? tF? ? )()( ???? ????? thFtx （ 290） 系統(tǒng)總的響應(yīng)為 ? ? ??? ??? ? thFtx )()( （ 291） 令 ，我們可得到 0???? ?? t dthFtx 0 )()()( ??? （ 292） 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) （ 292）式稱為 卷積或杜哈美（ Dugamel）積分 ，表示系統(tǒng)的響應(yīng)為一系列脈沖響應(yīng)的疊加。由 （ 285 ）、（ 286） 可得 )0( ?x? ???t0)( ??xmFx ?)0( ???（ 287） 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) (287)式可以理解為作用于 時(shí)的脈沖力，使系統(tǒng)產(chǎn)生一瞬間的速度增量，這樣就可以將這一脈沖作用等價(jià)為系統(tǒng)具有初速度 。 下面求解有阻尼單自由度系統(tǒng)對于脈沖力 的響應(yīng)，此時(shí)系統(tǒng)的方程為 )(?)( tFtF ??)(?)()()( tFtkxtxctxm ???? ??? （ 284） 由于脈沖的作用時(shí)間 ε極短， 即 ε→ 0 ，對方程 （ 284） 兩邊在區(qū)間 ε積分，并設(shè)初始條件 0)0()0( ?? xx ?? ?0000 ? ?l i m l i m ( )m x c x k x d x F t d t F???? ??? ? ? ? ??? （ 285） 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 其中 ? ?? ? ? ?? ?0l i m00l i ml i ml i m)0()0()(l i ml i ml i m000000000000??????????????????????????????????k x d txxccxdtxcxmxxmxmdtxm???????（ 286） 符號 表示在 區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)速度的變化。 單位脈沖函數(shù) 的數(shù)學(xué)定義為 ? ? 0?? at? 當(dāng) 時(shí) at ????? ?? 1)( dtat? （ 282） 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 按單位脈沖函數(shù)的定義，在 t=a 時(shí)刻作用的一個(gè)任意幅值 的脈沖力可表示為 F?)(?)( atFtF ?? ? （ 283） 系統(tǒng)在零初始條件下 ， 對于 t=0時(shí)的單位脈沖力的響應(yīng) ， 稱為單位脈沖響應(yīng) ， 并用 h(t) 表示 。 )(tx )(tf0?pn?n?np ?? ?00?ppH pH 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 非周期激勵(lì)的響應(yīng) 在非周期激勵(lì)的情況下，系統(tǒng)的響應(yīng)將不再是“穩(wěn)態(tài)”的，而是“非穩(wěn)態(tài)”的。 利用 Fourier級數(shù)展開的方法 ， 可以將周期為 T 的任何函數(shù)展成如下形式 ? ???????1000 s i nc o s21)(ppp tpbtpaatf ??T?? 20 ?（ 272） 和 由右式求得 pa pb??3,2,1s i n)(22,1,0c o s)(2220220????????ptd tptfTbptd tptfTaTTpTTp??（ 273） , 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 為了求解方便，將（ 273）式用復(fù)數(shù)形式表示 tippp ectf0)( ??????? （ 274） 這里 為復(fù)常數(shù)，由下式給定 pc?2,1,0)(1 220 ???? ??? pdtetfTcTTtipp?????1)R e ()( 0ptipp eAtf?由復(fù)數(shù)運(yùn)算規(guī)律得 ,(274)式等效于下式 其中 ?3,2,1)(2 220 ?? ??? pdtetfTATTtipp?（ 275） 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) （ 276） （ 277） 這里， 為對應(yīng)于頻率為 的復(fù)頻響應(yīng)，即 有阻尼單自由度系統(tǒng)對于（ 276）式所示激勵(lì)的響應(yīng)，可以求得下式 ????1)R e ()( 0ptippp eAHtx?pH0?p （ 278） nnppipH????? 0202)(11??? （ 279） 類似地，解（ 278）可寫成 ? ???????? ????10Re)(ptpipppeAHtx ??（ 280） 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 為 的模，而 200112ta n???????????nnppp?????? （ 281） 由解的表達(dá)式（ 278）和（ 280）可看出，對于周期激勵(lì)的響應(yīng) 也是周期的，且與 有同樣的周期。 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 例 25 研究一種基礎(chǔ)激振的情況。上式所描述的共振響應(yīng)特性示于下圖。 下面討論簡諧振子的共振響應(yīng)，此時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程變?yōu)? : tAtxtx nnn ??? c o s)()( 22 ???? （ 262） ????????????????????????tinAetx???211Re)( （ 261） ? 簡諧振子的共振響應(yīng) 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 不難證明系統(tǒng)有如下特解 ttAtx nn ?? s in2)( ?（ 263） 此式表明，解是一幅值隨時(shí)間線性增加的振蕩響應(yīng)，這隱含了隨著時(shí)間的增大，解將趨于無窮。 圖 215 簡諧激勵(lì)的相位 即 ω /ωn＜ 1時(shí)響應(yīng)同相， ω /ωn＞ 1時(shí)響應(yīng)反相。 ? 對于 ω /ωn＜ 1情況隨 ω /ωn減小 ，相角趨于零 。從 的 φ= 0 跳到 ω /ωn＞ 1時(shí)的 φ= π 。 ? 相角 φ 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 從（ 259）式和圖 215可以看出 : ? 對應(yīng)于不同 ζ值的所有曲線均在 ω /ωn=1處通過共同點(diǎn) 。 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 2112ta n?????????? ?nn?????? （ 259） 相角表達(dá)式如上。 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 值得注意的是 ， 當(dāng) ω =ωn 時(shí) ， （ 250） 式所表示的解已不適用了 ， 必須對系統(tǒng) （ 242） 重新求解 。 對（ 253）式求導(dǎo)，并令其等于零，可得到曲線峰值點(diǎn)對應(yīng)的ω 值 ? 當(dāng) ζ=0時(shí)，對應(yīng)于無阻尼情況，此時(shí)系統(tǒng)的齊次微分方程就是 簡諧振子 。 ? n??/ 從圖中可見，阻尼使系統(tǒng)的振幅值減小，也使峰值相對于 的位置左移。 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng) ????????????????????????????????????nntinntiniAeiAetx?????? ? ??????21Re2Re)(2222（ 250） 由上式可見，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng) x(t)與激振力 f(t) 成正比，且比例因子為 nniH??????211)(2?????????