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單自由度系統(tǒng)的自由振動(參考版)

2025-06-17 23:40本頁面
  

【正文】 由動量矩定理,列系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程為: 223 0c k am m l? ? ??? ? ? ? 22233,2n k a cpnml m??。寫出運(yùn)動微分方程,并求臨界阻尼系數(shù)和阻尼固有頻率的表達(dá)式。 044 ??? kxxcxm ???解:畫車身鉛垂振動的受力圖, 坐標(biāo) x的原點(diǎn)為車身的靜平衡位置,車身的運(yùn)動微分方程為 練 習(xí) Mechanical and Structural Vibration 044 ??? kxxcxm ???dnTAA 231 e?,2121 ?????? ???AAAA由已知條件和定義,得: 取對數(shù)得, dnTAA 2ln31 ? ?= 2 1π2,π211,222st????????????z??z??ndn Tgs / ,s/14 5 ????? ncdmcTn ??例 題 簡諧激勵作用下的受迫振動 Mechanical and Structural Vibration 一個有阻尼的彈簧 質(zhì)量系統(tǒng),質(zhì)量為 10 kg,彈簧靜伸長是 1cm,自由振動 20個循環(huán)后,振幅從 cm減至 ,求阻尼系數(shù) c。 例如 , 經(jīng)過 10個周期測得 P、 R兩點(diǎn)的幅值比 ?=2, 將 N= ?=2代入上式 , 得到該系統(tǒng)的阻尼比 2ln ??zNN π2lnlnπ2 ?z?z ????zz ln1π22??NMechanical and Structural Vibration 21π2 z?? nd pT 練 習(xí) Mechanical and Structural Vibration 質(zhì)量為 500 kg的機(jī)器安裝在一根彈簧上,使彈簧產(chǎn)生 mm的靜變形。 ?? dnT? 單自由度系統(tǒng)的衰減振動 阻尼對振幅的影響 Mechanical and Structural Vibration 振幅減縮率的自然對數(shù)稱為 對數(shù)減縮率 或?qū)?shù)減幅系數(shù) , 以 ? 表示 ?? ln?z? π2?例 在欠阻尼( z 1)的系統(tǒng)中,在振幅衰減曲線的包絡(luò)線上,已測得相隔 N個周期的兩點(diǎn) P、 R的幅值之比 xP/xR=?,如圖所示,試確定此振動系統(tǒng)的阻尼比 z。如仍以 z =,算得 ,物體每振動一次,振幅就減少 27%。當(dāng)材料的阻尼比 z1時,可近似認(rèn)為有阻尼自由振動的周期與無阻尼自由振動的周期相等。通常 z 很小,阻尼對周期的影響不大。 欠阻尼自由振動的周期 Td : 物體由最大偏離位置起經(jīng)過一次振動循環(huán)又到達(dá)另一最大偏離位置所經(jīng)過的時間。 有阻尼的自由振動視為準(zhǔn)周期振動。衰減運(yùn)動的頻率為 p d, 衰減速度取決于 zp n, 二者分別為本征值的虛部和實(shí)部。 221j npp nd ????)s i nc o s(e 21 tpCtpCx ddnt ?? ?其中 C1和 C2為積分常數(shù),由物塊運(yùn)動的起始條件確定。 顯然 , 只有臨界阻尼器才能滿足這種 要求 。由 Mechanical and Structural Vibration 單自由度系統(tǒng)的衰減振動 具有臨界阻尼的系統(tǒng)與過阻尼系統(tǒng)比較 , 它為最小阻尼系 統(tǒng) 。 設(shè) cc為臨界阻尼系數(shù) , 由于 z =n/pn =1, 即 kmmpnmc nc 222 ???z 阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)的比值,是 z 稱為阻尼比的原因。以靜平衡位置 O為坐標(biāo)原點(diǎn),選 x軸鉛直向下為正,有阻尼的自由振動微分方程 kxtxct xm ??? dddd 220dd2dd 222??? xptxntxn特征方程 02 22 ???npnrr?????????????222221nnpnnrpnnr特征根 有阻尼系統(tǒng)的衰減振動 mkpn ?22n cm?衰減系數(shù),單位 1/秒 (1/s) rtex ?Mechanical and Structural Vibration 單自由度系統(tǒng)的衰減振動 特征根 與運(yùn)動微分方程的通解的形式與阻尼有關(guān) 強(qiáng)阻尼( npn)情形 臨界阻尼 (n = pn )情形 22npnnr ????阻尼對自由振動的影響 )ee(e 2222 21 tpntpnnt nn CCx ???? ??nrr ??? 21 )(e21 tCCx nt ?? ??????????????222221nnpnnrpnnr 特征根 運(yùn)動微分方程 0dd2dd 222??? xptxntxnMechanical and Structural Vibration 單自由度系統(tǒng)的衰減振動 臨界情形是從衰減振動過渡到非周期運(yùn)動的臨界狀態(tài) 。s/m)。 它與物體的形狀、尺寸及介質(zhì)的性質(zhì)有關(guān),單位是牛頓 瑞利法 Mechanical and Structural Vibration 彈簧的總動能 2ss0s dd321dtxmTT l ?? ?2s2s2dd321dd321dd21txmmtxmtxmT ?????? ????系統(tǒng)的總動能為 seq 31 mm ?系統(tǒng)的勢能為 221 kxV ?固有頻率為 3sn mmkp??)c o s ( n ??? tpAx設(shè) m a xm a x VT ?l ? d? 瑞利法 Mechanical and Structural Vibration 有阻尼系統(tǒng)的衰減振動 第 1章單自由度系統(tǒng)的自由振動 Mechanical and Structural Vibration 阻尼 -系統(tǒng)中存在的各種阻力:干摩擦力,潤滑 表面阻力,液體或氣體等介質(zhì)的阻力、材料內(nèi)部的 阻力。 求彈簧的等效質(zhì)量及系統(tǒng)的固有頻率 。 根據(jù)胡克定律 , 各截面的靜變形與離固定端的距離成正比 。 應(yīng)用瑞利法 , 首先應(yīng)假定系統(tǒng)的振動位形 。利用動量矩定理,建立小球繞 O點(diǎn)作微擺動時的運(yùn)動微分方程為 Theoretical Mechanics 返回首頁 ??? )21( 22 klpllgP ?????要點(diǎn):利用普遍定理建立系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程。如桿及彈簧的質(zhì)量不計(jì),小球可視為一質(zhì)點(diǎn),則系統(tǒng)作微擺動時的運(yùn)動微分方程為( )。則此系統(tǒng)微振動時的圓頻率為: 2)(2baQkga?Pkga 20?220 )( baQPkga???220 )(2baQPkga???( A) ( B) ( C) ( D) ( D) 習(xí) 題 Theoretical Mechanics 返回首頁 ?? )21( 22 klpllgP ?????? )21( 22 klpllgP
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