單自由度系統(tǒng)的自由振動-閱讀頁
2025-06-29 23:40本頁面
【正文】 面的靜變形一樣 。 依據(jù)此假設(shè)計(jì)算彈簧的動能 ， 并表示為集中質(zhì)量的動能為 瑞利法 Mechanical and Structural Vibration 例 在圖示系統(tǒng)中 ， 彈簧長 l， 其質(zhì)量 ms。 左端距離為 ? 的截面的位移為 ， 則 d? 彈簧的動能為 xl?2sddd21d ???????txllmTs??l ? d? 假設(shè)彈簧各點(diǎn)在振動中任一瞬時(shí)的位移和一根直桿在一端固定另一端受軸向載荷作用時(shí)各截面的靜變形一樣， 解：令 x表示彈簧右端的位移，也是質(zhì)量 m的位移。 物體運(yùn)動沿潤滑表面的阻力與速度的關(guān)系 txcFddc ??c－ 粘性阻尼系數(shù)或粘阻系數(shù) 。米 /秒 (N 有阻尼系統(tǒng)的衰減振動 Mechanical and Structural Vibration 運(yùn)動微分方程 圖示為一有阻尼的彈簧 質(zhì)量系統(tǒng)的簡化模型。 這時(shí)系統(tǒng)的阻尼系數(shù)是表征運(yùn)動規(guī)律在性質(zhì)上發(fā)生變化的重要臨界值 。 z???nnc pnmpnmcc22cc只取決于系統(tǒng)本身的質(zhì)量與彈性常量。 因此質(zhì)量 m將以最短的時(shí)間回到靜平衡位置 ， 并不作 振動運(yùn)動 ， 臨界阻尼的這種性質(zhì)有實(shí)際意義 ， 例如大炮發(fā) 射炮彈時(shí)要出現(xiàn)反彈 ， 應(yīng)要求發(fā)射后以最短的時(shí)間回到原 來的靜平衡位置 ， 而且不產(chǎn)生振動 ， 這樣才能既快又準(zhǔn)確 地發(fā)射第二發(fā)炮彈 。 Mechanical and Structural Vibration 單自由度系統(tǒng)的衰減振動 tntn CCx 21 21 ee ??強(qiáng)阻尼 (z1)情形 1－－ zz nn ppr ??臨界阻尼 (z＝ 1)情形 這兩種情形下，運(yùn)動不再是周期型的，而是按負(fù)指數(shù)衰減 npn?z引入阻尼比 z＝ 1 z1 O t x nrr ??? 21 )(e 21 tCCx nt ?? ?Mechanical and Structural Vibration 單自由度系統(tǒng)的衰減振動 dn ppr j?? z－弱阻尼 (z1)情形 （ npn） ???????????????????dndnpnnpnrpnnpnrjjjj222221特征根 其中 。設(shè) t = 0時(shí)， 可解 00 vvxx ?? ，dpvnxC 002??C1=x0 Mechanical and Structural Vibration 單自由度系統(tǒng)的衰減振動 000220020t a n)(nxvpxpnxvxAdd??????)s i n (e ??? ? tpAx dnt另一種形式 初相位角 振 幅 阻尼振動振幅；－－ ntA e 這種情形下，自由振動不是等幅簡諧振動，是按負(fù)指數(shù)衰減的衰減運(yùn)動。 Mechanical and Structural Vibration 單自由度系統(tǒng)的衰減振動 衰減振動 :物塊在平衡位置附近作具有振動性質(zhì)的往復(fù)運(yùn)動，但它的振幅不是常數(shù)，隨時(shí)間的推延而衰減。 )s i n (e ??? ? tpAx dntMechanical and Structural Vibration 222 π 2 π 111 ( )ddnnTTpp npz? ? ???T=2?/pn為無阻尼自由振動的周期。 由于阻尼的存在，使衰減振動的周期加大。例如，當(dāng) z=， Td=，周期 Td 僅增加了 %。 單自由度系統(tǒng)的衰減振動 阻尼對周期的影響 Mechanical and Structural Vibration 設(shè)衰減振動經(jīng)過一周期 Td， 在同方向的相鄰兩個(gè)振幅分別為 Ai和 Ai+1， 即 ])(s i n [e)s i n (e)(1 ???????????didTtniidntiTtpAAtpAAdii兩振幅之比為 dnTiiAA e1????稱為振幅減縮率或減幅系數(shù)。由此可見 ，在欠阻尼情況下，周期的變化雖然微小，但振幅的衰減卻非常顯著 ，它是按幾何級數(shù)衰減的。 dnTpTtptpTpee e dndnnzzzz??? ???lnln )(1121π2zz???dnT?21π2 z?? nd pT 單自由度系統(tǒng)的衰減振動 阻尼對振幅的影響 Mechanical and Structural Vibration 單自由度系統(tǒng)的衰減振動 解 ：振動衰減曲線的包絡(luò)線方程為 ntAx ?? e設(shè) P、 R兩點(diǎn)在包絡(luò)線上的幅值為 xP、 xR ， 則有 ??? dn N TRPxx e當(dāng) z 21時(shí) 此式對估算小阻尼系統(tǒng)的 z值是很方便的 。為了使系統(tǒng)達(dá)到臨界阻尼狀態(tài)，求加在系統(tǒng)上并與彈簧并聯(lián)的粘性阻尼器的阻尼系數(shù)是多少？ 2STN9 . 8 1r a ds 8 0 . 90 . 0 0 1 5 m sngp ? ? ??22 nnc c m pmpzz? ? ?msN108 .0 9sr a d8 0 . 9)500)(1(2 4 ?????????? kgc解：靜變形與固有頻率的關(guān)系為 由附加的粘性阻尼器的阻尼系數(shù) c導(dǎo)出的阻尼比為 當(dāng)阻尼比為 1時(shí)，系統(tǒng)處于臨界衰減，則此時(shí)的阻尼系數(shù)為臨界阻尼系數(shù)，即 練 習(xí) Mechanical and Structural Vibration 質(zhì)量為 m = 2450kg的汽車，壓在 4個(gè)車輪彈簧上，可使每個(gè)彈簧壓縮 ?st = 150mm，當(dāng)每個(gè)彈簧都并聯(lián)上一個(gè)粘性阻尼器后，振幅衰減為 A1/A3 = 10；求 1）振幅減縮率 ? 和對數(shù)減縮率? ； 2）衰減系數(shù) n = c/2m和衰減振動的周期 Td； 3）臨界阻尼系數(shù) cc。 ntX Ae?? 200 .6 40 .1 6 dnTe? ln 420dT n?振動 20個(gè)循環(huán)后，振幅比為： 21dTTz? ?2222ln 4 4()20 nn P n???代入 得： 10nstgPgd??? 2ln4()20n 224100gn?? ?又 ＝ c = N s /m 解：振動衰減曲線得包絡(luò)方程為： 例 題 簡諧激勵作用下的受迫振動 Mechanical and Structural Vibration O mg ? XO YO FK FC 一長度為 l、質(zhì)量為 m的均質(zhì)剛性桿鉸接于 O點(diǎn)并以彈簧和粘性阻尼器支承，如圖所示。 0220 ??? aklcI ??? ???20 13I ml?當(dāng) n＝ pn時(shí)， c＝ cC 323232 mklampnmc nC ????解：圖為系統(tǒng)的靜平衡位置，畫
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