【正文】 為 的復(fù)頻響應(yīng)，即 有阻尼單自由度系統(tǒng)對(duì)于（ 276）式所示激勵(lì)的響應(yīng)，可以求得下式 ????1)R e ()( 0ptippp eAHtx?pH0?p （ 278） nnppipH????? 0202)(11??? （ 279） 類(lèi)似地，解（ 278）可寫(xiě)成 ? ???????? ????10Re)(ptpipppeAHtx ??（ 280） 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 為 的模，而 200112t a n???????????nnppp?????? （ 281） 由解的表達(dá)式（ 278）和（ 280）可看出，對(duì)于周期激勵(lì)的響應(yīng) 也是周期的，且與 有同樣的周期。另外，當(dāng)某個(gè) 接近系統(tǒng)的自然頻率 時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)中此簡(jiǎn)諧分量將占主導(dǎo)地位，特別是當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)均發(fā)生共振，也就是說(shuō)周期激勵(lì)同樣可以激起系統(tǒng)共振，只要某 與 重合。 )(tx )(tf0?pn?n?np ?? ?00?ppHpH 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 非周期激勵(lì)的響應(yīng) 在非周期激勵(lì)的情況下，系統(tǒng)的響應(yīng)將不再是“穩(wěn)態(tài)”的，而是“非穩(wěn)態(tài)”的。求解系統(tǒng)在非周期激勵(lì)下瞬態(tài)響應(yīng)的方法有多種，將激勵(lì)描述成一系列脈沖，通過(guò)求各個(gè)脈沖的響應(yīng)，然后疊加來(lái)求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)是常見(jiàn)的方法之一，下面詳細(xì)敘述此方法。 單位脈沖函數(shù) 的數(shù)學(xué)定義為 ? ? 0?? at? 當(dāng) 時(shí) at ????? ?? 1)( dtat? （ 282） 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 按單位脈沖函數(shù)的定義，在 t=a 時(shí)刻作用的一個(gè)任意幅值 的脈沖力可表示為 F?)(?)( atFtF ?? ? （ 283） 系統(tǒng)在零初始條件下 ， 對(duì)于 t=0時(shí)的單位脈沖力的響應(yīng) ， 稱(chēng)為單位脈沖響應(yīng) ， 并用 h(t) 表示 。 系統(tǒng)對(duì)于 t =a 時(shí)刻單位脈沖力的響應(yīng)則相應(yīng)為 h(t –a)。 下面求解有阻尼單自由度系統(tǒng)對(duì)于脈沖力 的響應(yīng)，此時(shí)系統(tǒng)的方程為 )(?)( tFtF ??)(?)()()( tFtkxtxctxm ???? ??? （ 284） 由于脈沖的作用時(shí)間 ε極短， 即 ε→ 0 ，對(duì)方程 （ 284） 兩邊在區(qū)間 ε積分，并設(shè)初始條件 0)0()0( ?? xx ?? ?0000 ? ?l im l im ( )m x c x k x d x F t d t F???? ??? ? ? ? ??? （ 285） 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 其中 ? ?? ? ? ?? ?0l im00l iml iml im)0()0()(l iml iml im000000000000??????????????????????????????????k x d txxccxdtxcxmxxmxmdtxm???????（ 286） 符號(hào) 表示在 區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)速度的變化。另一方面，由于脈沖作用時(shí)間極短，系統(tǒng)在瞬間不可能獲得位移增量，即 。由 （ 285 ）、（ 286） 可得 )0( ?x? ???t0)( ??xmFx ?)0( ???（ 287） 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) (287)式可以理解為作用于 時(shí)的脈沖力，使系統(tǒng)產(chǎn)生一瞬間的速度增量，這樣就可以將這一脈沖作用等價(jià)為系統(tǒng)具有初速度 。因此，系統(tǒng)的響應(yīng)為 0?t0 ?v F m?0s in?)( temFtx dtdn ???????????00??tt （ 288） 212 )1( ??? ?? nd單位脈沖響應(yīng)可以由 （ 288） 式得到，令 ，則有 1? ?F???????0s in1)(temth dtdn ????00??tt （ 289） 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 對(duì)一任意激勵(lì)函數(shù) ，可以看成由一系列變幅值的脈沖所組成。在任意時(shí)刻 ，對(duì)應(yīng)一時(shí)間增量 ，相應(yīng)的脈沖幅值為 ，脈沖力在數(shù)學(xué)上可描述為 ，此時(shí)系統(tǒng)的 響應(yīng) )(tF??t ???? ?)(F )()( ???? ?? tF? ? )()( ???? ????? thFtx （ 290） 系統(tǒng)總的響應(yīng)為 ? ? ??? ??? ? thFtx )()( （ 291） 令 ，我們可得到 0???? ?? t dthFtx 0 )()()( ??? （ 292） 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) （ 292）式稱(chēng)為 卷積或杜哈美（ Dugamel）積分 ，表示系統(tǒng)的響應(yīng)為一系列脈沖響應(yīng)的疊加。將（ 289）式代入（ 292）得 ????? ??? dteFmtx dt tdn )(s i n)(1)(0)( ?? ? ??（ 293） 這就是有阻尼單自由度系統(tǒng)對(duì)于任意激勵(lì) 的響應(yīng) 。 注意 ， （ 293） 未考慮系統(tǒng)的初始條件 。 根據(jù)卷積的性質(zhì) ， （ 292） 可寫(xiě)為另一種形式 )(tF? ? ? ? ? ? ?????? dhtFdthFtx tt ?? ???? 00 )()( （ 294） 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) ? 階躍響應(yīng) 作為卷積的一個(gè)例子，下面討論有阻尼單自由度系統(tǒng)對(duì)單位階躍函數(shù)的響應(yīng)， 單位階躍函數(shù) 定義為 ?????10)( atuatat?? （ 295） 很明顯 ， 單位階躍函數(shù)在 處不連續(xù) ， 在此點(diǎn)處 ，函數(shù)值由 0 跳到 1 。 如果不連續(xù)點(diǎn)在 處 ， 則單位階躍函數(shù)用 表示 。 at ?0?t)(tu 值得注意，單位階躍函數(shù)與單位脈沖函數(shù)有密切關(guān)系，在數(shù)學(xué)上可表示為 ? ?? ??? t datatu ?? )()( （ 296） 此處， 僅僅是積分變量。反過(guò)來(lái)有 ? 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) dtatduat )()( ???? （ 297） 系統(tǒng)對(duì)于作用于 時(shí)的單位階躍力的響應(yīng)稱(chēng)為單位階躍響應(yīng) ， 并用 表示 。 將 和 代入卷積公式 ， 可得單位階躍響應(yīng) 0?t)(tg )()( ?? uF ? )(th? ? ?????????? dtemdthutg dt tdtn )(s i n1)()()(00???? ?? ??（ 298） 經(jīng)積分可得 )(s i nc os11)( tuttektg ddndtn??????????????????? ? ??????? （ 299） 此處 的作用是使 （ 299） 式在 時(shí)， 。 )(tu 0?t 0)( ?tg 系統(tǒng)響應(yīng)的求法還有 Fourier積分法 ， Laplace變換法 ，這里不做介紹。 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速的概念 圖 220 單盤(pán)轉(zhuǎn)子示意圖 圖 221 圓盤(pán)的瞬時(shí)位置及力 設(shè)有一轉(zhuǎn)子如圖 220所示，其中 Oxyz是固定坐標(biāo)系，無(wú)質(zhì)量的彈性軸的彎曲剛度為 EJ ，在跨中安裝有質(zhì)量為的剛性薄盤(pán)。 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 由于材料、工藝等因素使圓盤(pán)的質(zhì)心偏離軸線(xiàn)，偏心距為 e 。當(dāng)轉(zhuǎn)子以等角速度 ω自轉(zhuǎn)時(shí)，偏心引起的離心慣性力將使軸彎曲，產(chǎn)生動(dòng)撓度，并隨之帶動(dòng)圓盤(pán)公轉(zhuǎn)。 設(shè)圓盤(pán)在瞬時(shí) t 的狀態(tài)如圖 221所示，這時(shí)彈性軸因有動(dòng)撓度 而對(duì)圓盤(pán)的作用力為 ，它在坐標(biāo)軸上的投影分別為 r?F????????kyFkxFyx（ 2100） 由材料力學(xué)可知 ， 對(duì)于圖 220所示的模型 348lEJk ? 單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用 （ 2101） 圖 221 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) ???????ycRxcRyx?? （ 2102） 根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，可得 ???????yycxxcFRymFRxm???? （ 2103） 由圖 221的幾何關(guān)系知 ???????teyytexxcc??s i nc os 對(duì)上式求兩次導(dǎo)數(shù)，可得 （ 2104） ???????teyytexxcc????s i nc os22???????? （ 2105） 設(shè)圓盤(pán)在運(yùn)動(dòng)中受到粘性阻尼力的作用，它的兩個(gè)分量為 單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用 圖 221 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 把（ 2105）代入（ 2103），得到轉(zhuǎn)子模型的運(yùn)動(dòng)微分方程 ?????????tmekyycymtmekxxcxm????s i nc os22??????（ 2106） 可改寫(xiě)為 ?????????teyyytexxxnnnn??????????s i n2c os22222??????式中 348mlEJmkn ???kmc2??（ 2107） 把 （ 2107） 式與有阻尼單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程作一比較 ， 顯然兩者在數(shù)學(xué)形式上是完全相同的 。 單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) ? ? ???????????tYytXxs i n)c os ( （ 2108） 把（ 2108）代入（ 2107）中，得到 ? ? ? ?? ? ? ???????????????????22122222222222ta n22?????????????????nnnnnneYeX（ 2109） 由此可見(jiàn)， O39。點(diǎn)繞固定坐標(biāo)系的 Oz 軸在作圓周運(yùn)動(dòng)。 因此引用其求穩(wěn)態(tài)解的方法，設(shè) 單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) )(s i n)(c ostrytrx???? 可見(jiàn)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑就是軸的動(dòng)撓度 r ，角速度等于軸的自轉(zhuǎn)角速度 ω ，因?yàn)橛凶枘?，?dòng)撓度與偏心之間存在相位差 φ 。即有 ? ? ? ?? ? ???????????????????tternn222222（ 2110） 對(duì)照幾何關(guān)系 單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 根據(jù)（ 2110）式可繪出在不同 ζ 值時(shí)， r和 φ 隨 ω值變化的曲線(xiàn)，分別如圖 22